Моделирование систем в задачах. Практикум (стр. 4 )

математическое ожидание случайного процесса X (t) и передаточную

функцию W (0):

.

(5.8)

Решение типовых задач

Задача 5.1. Дано

Определить дисперсию случайного процесса на выходе динамической

системы.

Решение. Имеем:

(5.9)

Определим W (− jw). Получим:

W (− jw) = − jw.

Представим в виде:

Соотношение (5.1) с учетом (5.2), (5.9) примет вид:

Запишем полученное соотношение в виде:

где

(5.11)

Соотношение (5.11) описывает стандартный интеграл порядка n = 2 . Об-

щее выражение для стандартного интеграла имеет вид соотношений (5.3),

(5.4). Сопоставляя (5.10) и (5.11), получим:

(5.12)

Подставим (5.12) в (5.6). Имеем:

Окончательно получим:

Задача 5.2. Линейная система описывается уравнением вида:

(5.13)

Случайная функция X (t ), действующая на входе системы, имеет спек-

тральную плотность вида:

Определить дисперсию случайного процесса на выходе системы.

Решение. Перейдем от уравнения (5.13) к передаточной функции

динамической системы. Введем оператор дифференцирования

.

Перепишем (5.13) в виде:

(5.14)

Из (5.14) имеем:

откуда:

Определим W (− jw). Получим:

Представим в виде:

Соотношение (5.1) с учетом (5.2), (5.9) примет вид:

или

Запишем полученное соотношение в виде:

где

Сопоставляя последние выражения, получим:

(5.15)

Подставим (5.15) в (5.6). Имеем:

Окончательное выражение для дисперсии примет вид:

Задачи для самостоятельного решения

Задача 5.3. На вход апериодического звена, описываемого уравнением:

поступает стационарный сигнал X (t) со спектральной плотностью:

Найти дисперсию случайного процесса на выходе апериодического звена.

Задача 5.4. Линейная система описывается уравнением вида

Случайная функция X (t) , действующая на входе системы, имеет спек-

тральную плотность

Найти дисперсию сигнала на выходе системы.

Задача 5.5. Дано:

Определить дисперсию .

6. Формирующие фильтры

Теоретические сведения

Спектральные плотности на входе и на выходе динамической

системы связаны соотношением:

(6.1)

где φ(jω) – частотная характеристика динамической системы.

Имеем:

(6.2)

Подставим (6.2) в (6.1). Получим:

(6.3)