Моделирование систем в задачах. Практикум (стр. 8 )

Матрица Z имеет вид:

Определим матрицы I − Z, E * Zdg. Получим:

Опередим матрицу D. Получим:

Определим матрицу M. Получим:

Каждый элемент полученной матрицы M характеризует среднее время

перехода из одного в другое соответствующее состояние. Так, время

перехода из первого в первое состояние в среднем равно 3,126 шага, из

первого состояния во второе - 2,695 шага, из первого в третье - 3,001 шага и т. д.

Задачи для самостоятельного решения

Задача 8.2. Матрица перехода имеет вид:

Определить матрицу М.

Задача 8.3. Матрица перехода имеет вид:

Определить матрицу М.

Задача 8.4. Матрица перехода имеет вид:

Определить матрицу М.

Задача 8.5. Матрица перехода имеет вид:

Определить матрицу М.

Задача 8.6. Матрица перехода имеет вид:

Определить матрицу М.

Задача 8.7. Матрица перехода имеет вид:

Определить матрицу М.

Задача 8.8. Матрица перехода имеет вид:

Определить матрицу М.

9. Каноническое разложение случайного процесса

Пусть случайный процесс X (t) представлен в виде:

(9.1)

где mx(t ) – математическое ожидание случайного процесса X (t ) ; ϕi (t ) –

неслучайные функции времени; Vi – случайные величины, причем:

M [Vi ] = 0; M [Vi*V j ] = 0; если i ≠ j

M [Vi2 ] = Di.

Здесь Di – дисперсия случайной величины Vi, m – количество неслучайных функций в каноническом разложении.

Соотношение (9.1) называется каноническим разложением случайного процесса X (t ) .

Соотношению (9.1) соответствует корреляционная функция вида:

(9.2)

Соотношение (9.2) называется каноническим разложением корреляционной функции K x (t1 , t 2 ). Из (7.2) определим дисперсию Dx (t ) случайного процесса X (t ) . Имеем:

(9.3)

Задача 9.1. Случайная функция X (t ) задана каноническим разложе-

нием:

X (t) = 3t + X1 ⋅ cos ωt + X 2 ⋅ sin ωt + X 3 ⋅ cos 2ωt + X 4 ⋅ sin 2ωt.

Случайные величины X 1 , X 2 , X 3 , X 4 имеют следующие математические ожидания и дисперсии:

m x1= m x 2 = m x 3 = m x 4 = 0; D x1 = D x 2 = 1; D x 3 = D x 4 = 3.

Определить m x (t ), K x (t1 , t 2 ), Dx (t ).

Решение. Найдем m x (t ). Имеем:

M x (t) = 3t.

Определим K x (t1 , t 2 ). Получим:

K x (t1 , t 2 ) = cos ωt1 ⋅ cos ωt2 + sin ωt1 ⋅ sin ωt 2 +

+ 3 cos 2ωt1 ⋅ cos 2ωt2 + 3 sin 2ωt1 sin 2ωt 2 =

= cos ω(t1 – t2 ) + 3 cos 2ω(t1 – t2 ).

Определим D x (t ). Имеем:

Dx (t ) = K x (t, t ) = 4.

Задача 9.2. Случайная функция X (t) задана каноническим разложением:

X (t) = 2t + X 1 ⋅ sin t + X 2 ⋅ cos t.

Случайные величины X 1 , X 2 имеют следующие математические ожидания

и дисперсии:

m x1 = m x 2 = 0; D x1 = D x 2 = 3 .

Найти каноническое разложение случайной функции Y (t) вида:

Y (t ) = t ⋅ X (t) – t2 .

Определить m y (t ), K y (t1 , t 2 ), D y (t ).

Решение. Найдем каноническое разложение Y (t) . Имеем:

Y (t ) = t 2 + X 1t ⋅ sin t + X 2t ⋅ cos t.

Определим m y (t). Получим: m y (t ) = t 2 . Найдем K y (t1 , t 2 ). Имеем:

K y (t1 , t 2 ) = 3t 1t 2 sin t 1 ⋅ sin t 2 + 3t 1t 2 cos t 1 ⋅ cos t 2 =

= 3t 1t 2 cos(t 1 − t 2).

Определим D y (t). Получим:

D y (t) = K y (t, t ) = 3t 2 .

Задачи для самостоятельного решения

Задача 9.3. Найти математическое ожидание, корреляционную функ-

цию и дисперсию случайной функции:

X (t) = X 1 ⋅ sin ωt + X 2 ⋅ cos ωt + 3t 2 ,

где X 1 , X 2 – некоррелированные случайные величины с

m X 1 = 2; m X 2 = 0,1; D X1 = 0,01; D X 2 = 0,04.

Задача 9.4. Случайная функция X (t) задана каноническим разложе-

нием: