Моделирование систем в задачах. Практикум (стр. 7 )

Используя найденные определители матрицы, получим:

Задачи для самостоятельного решения

Задача 7.3. Рассматривается следующий процесс: система представляет

собой техническое устройство (ТУ), которое осматривается в определенные

моменты времени (например, через сутки), и состояние системы регистрируется в отчетной ведомости. Каждый осмотр с регистрацией представляет собой “шаг” процесса.

Возможные состояния ТУ следующие:

·  x1 – полностью исправно;

·  x2 – частично неисправно, требуется наладка;

·  x3 – обнаружена серьезная неисправность, требуется ремонт;

·  x4 – признано непригодным, списано.

Пусть заданна матрица переходов вида:

В начальный момент ТУ находится в состоянии x1 (исправно).

Найти распределение вероятностей состояний для первых трех шагов

k = 1,2,3 .

Задача 7.4. Задана матрица перехода π вида:

Найти матрицу финальных вероятностей T вида:

Задача 7.5. В процессе эксплуатации, ЭВМ может рассматриваться

как физическая система, которая в результате проверки может оказаться в

одном из следующих состояний:

·  x1 – ЭВМ полностью исправна;

·  x2 – ЭВМ имеет незначительные неисправности в оперативной памяти (ОП), но может решать задачи;

·  x3 –ЭВМ имеет существенные неисправности, может решать ограниченный класс задач;

·  x4 – ЭВМ полностью вышла из строя.

Считаем, что в начальный момент ЭВМ полностью исправна. Проверка ЭВМ производится в фиксированные моменты времени t1 , t 2 , t3 . Процесс, протекающий в системе, можно рассматривать как цепь Маркова с тремя шагами (1-я, 2-я, 3-я проверки ЭВМ).

Пусть заданна матрица переходов в виде:

Определить вероятности состояний после трех проверок, т. е.:

Задача 7.6. Задана матрица перехода π вида:

Найти матрицу финальных вероятностей T вида:

8. Определение матрицы М среднего времени перехода

Теоретические сведения

Матрица М определяется соотношением:

(8.1)

где

(8.2)

Здесь I – единичная матрица; π – матрица перехода; Т – матрица финаль-

ных вероятностей; E – единичная матрица (все элементы матрицы E равны единице); Z dg – матрица, получающаяся из матрицы Z обнулением внедиагональных элементов; D – диагональная матрица с элементами, равными обратным значениям элементов диагонали матрицы финальных вероятностей T.

Решение типовых задач

Задача 8.1. Система может находиться в одном из трех состояний:

Процесс в системе описывается цепью Маркова. Матрица перехода имеет вид:

(8.3)

Определить матрицу M.

Решение. Найдем первоначально матрицу финальных вероятностей

T вида:

(8.4)

Из (7.9) имеем для n = 3:

или

(8.5)

Решая систему алгебраических уравнений (8.5), получим:

Из (8.4) имеем:

Определим π − T . Имеем:

Определим матрицу I. Получим:

Найдем матрицу

Будем иметь:

Определим матрицу Z. Получим:

где – определитель матрицы . Здесь: