k_x(\tau)=\int\limits_{-\infty}^{\infty} S_x(f)e^{i2 \pi f \tau} df.

(4.4)

или

Здесь приняты следующие обозначения: - двусторонняя спектральная плотность случайного процесса X (t) , – корреляционная функция случайного процесса X (t), .

Если полагать в формулах (4.3) и (4.4) соответственно f = 0 и τ = 0, получим

S_x(0)=\int\limits_{-\infty}^{\infty} k_x(\tau)d \tau,

(4.5)

\sigma_x^2=k_x(0)=\int\limits_{-\infty}^{\infty} S_x(f)df.

(4.6)

Формула (4.6) с учетом (4.2) показывает, что дисперсия определяет полную энергию стационарного случайного процесса, которая равна площади по всей кривой спектральной плотности. Размерную величину Sx(f)df можно трактовать как долю энергии, сосредоточенную в малом интервале частот от f − df / 2 до f + df / 2. Под x(t) может пониматься случайный ток или напряжение. Поэтому Sx(f) иногда называют энергетическим спектром. В литературе часто можно встретить другую интерпретацию: \sigma_x^2 рассматривается как средняя мощность, выделяемая током или напряжением на сопротивлении 1 Ом. При этом величину Sx(f) называют спектром мощности случайного процесса.

Свойства спектральной плотности

Энергетический спектр стационарного процесса (вещественного или комплексного) – неотрицательная величина:

S_x(f) \ge 0.

(4.7)

Энергетический спектр вещественного стационарного в широком смысле случайного процесса есть действительная и четная функция частоты:

~S_x(-f)=S_x(f).

(4.8)

Чем «шире» спектр Sx(f) тем «уже» корреляционная функция kx(τ), и наоборот.

Решение типовых задач

Задача 4.1. Корреляционная функция случайного процесса X (t) имеет вид:

Определить спектральную плотность случайного процесса X(t).

Решение. Спектральная плотность определяется по формуле (4.1):

Исходя из условий задачи, представим этот интеграл в виде суммы двух

интегралов:

Вычислим

Задачи для самостоятельного решения

Задача 4.2. Корреляционная функция задана в виде

Построить график , определить спектральную плотность .

Задача 4.3. Корреляционная функция задана в виде

Определить спектральную плотность .

Задача 4.4. Корреляционная функция задана в виде

Найти спектральную плотность .

5. Определение дисперсии случайного процесса на выходе динамической системы

Теоретические сведения

Рассмотрим схему на рис.5.1.
 
X(t) Y(t)

Рис. 5.1

Здесь – передаточная функция динамической системы; –

спектральная плотность случайного процесса X (t); – дисперсия слу-

чайного процесса Y (t).

Дисперсия на выходе системы определяется по формуле:

.

(5.1)

где – спектральная плотность процесса Y (t) . определяется по

формуле:

.

(5.2)

Чтобы вычислить интеграл (5.1), необходимо привести его к виду стандартного интеграла:

.

(5.3)

где

.

(5.4)

Интеграл при n = 1,2,3 определяется соотношениями:

.

(5.5)

.

(5.6)

.

(5.7)

Математическое ожидание случайного процесса Y (t) вычисляется через

Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13