Моделирование систем в задачах. Практикум (стр. 2 )

Решение. Для определения математического ожидания воспользуем-

ся выражением (2.1) и вторым свойством математического ожидания:

Для определения корреляционной функции воспользуемся выражением (2.2) и четвертым свойством корреляционной функции:

Для определения дисперсии заданного случайного процесса воспользуемся выражением (2.3) и вторым свойством дисперсии:

Задача 2.2. Пусть случайный процесс задан следующим выражением

Требуется опередить математическое ожидание, корреляционную функцию и дисперсию случайного процесса, если заданы:

Решение. Для определения математического ожидания воспользуем-

ся выражением (2.1), первым и вторым свойствами математического ожи-

дания:

Для определения корреляционной функции воспользуемся выражением

(2.2) и третьим свойством корреляционной функции:

Для определения дисперсии заданного случайного процесса воспользуемсявыражением (2.3) и вторым свойством дисперсии:

Задачи для самостоятельного решения

Задача 2.3. Случайный процесс задан следующим выражением

Определить математическое ожидание, корреляционную функцию и дисперсию.

Задача 2.4. Случайный процесс задан следующим выражением

Определить математическое ожидание, корреляционную функцию и дисперсию, если известны:

Задача 2.5. Случайный процесс X (t) имеет характеристики

Найти математическое ожидание, корреляционную функцию и дисперсию случайного процесса Y (t)

3. Определение вероятностных характеристик производной от случайного процесса

Теоретические сведения

Пусть

где X (t),Y (t) – случайные процессы. Тогда математическое ожидание данного случайного процесса Y (t) определяется по формуле:

(3.1)

Корреляционная функция данного случайного процесса Y (t):

(3.2)

Если τ = t1 − t 2 , то корреляционная функция:

(3.3)

Решение типовых задач

Задача 3.1. Случайный процесс задан следующим выражением

Определить математическое ожидание этого процесса и корреляционную функцию.

Решение. Используя свойства математического ожидания и выраже-

ние (3.1), определим математическое ожидание заданного процесса:

Используя свойства корреляционной функции и выражение (3.2), опреде-

лим корреляционную функцию:

Задача 3.2. Случайный процесс задан следующим выражением

Корреляционная функция определена:

Определить корреляционную функцию заданного случайного процесса Y(t).

Решение. Для τ < 0 корреляционная функция имеет вид:

Для τ ≥ 0 корреляционная функция имеет вид:

Для любого τ корреляционная функция имеет вид:

Задачи для самостоятельного решения

Задача 3.3. Случайный процесс задан следующим выражением

Определить математическое ожидание этого процесса и корреляционную функцию, если известно, что

Задача 3.4. Случайный процесс задан следующим выражением

Корреляционная функция процесса X(t) определена следующим образом:

Определить корреляционную функцию случайного процесса Y (t).

Задача 3.5. Случайный процесс задан следующим выражением

Корреляционная функция процесса X(t) определена следующим образом:

Определить корреляционную функцию случайного процесса Y (t).

4. Определение спектральной плотности по корреляционной функции

Теоретические сведения

В статистической радиотехнике и физике при изучении детерминированных сигналов и случайных процессов широко используется их спектральное представление в виде спектральной плотности, которая базируется на преобразовании Фурье.

Если процесс x(t) имеет конечную энергию и квадратично интегрируем (а это нестационарный процесс), то для одной реализации процесса можно определить преобразование Фурье как случайную комплексную функцию частоты:

(4.1)

Интересным является распределение энергии процесса по оси частот. Тогда согласно теореме Парсеваля энергия процесса вычисляется по формуле:

(4.2)

Функция характеризует распределение энергии реализации по оси частот и называется спектральной плотностью реализации. Усреднив эту функцию по всем реализациям можно получить спектральную плотность процесса.

Перейдем теперь к стационарному в широком смысле случайному процессу x(t), реализации которого с вероятностью 1 имеют бесконечную энергию. Спектральная плотность такого процесса может быть найдена на основании теоремы Винера-Хинчина как преобразование Фурье от корреляционной функции:

(4.3)

или

где через ω переобозначена частота f. ω - характерное обозначение частоты в теории автоматического управления.

Если существует прямое преобразование, то существует и обратное преобразование Фурье, которое по известной Sx(f) определяет Кx(τ):