Моделирование систем в задачах. Практикум (стр. 9 )

X (t) = sin t + X 1 ⋅ sin 2t + X 2 ⋅ cos 2t.

Случайные величины X 1 , X 2 имеют следующие математические ожида-

ния и дисперсии:

m X1 = m X 2 = 0; D X1 = 0,2; D X 2 = 0,3.

Найти каноническое разложение случайной функции Y (t) вида:

Y (t) = 2t ⋅ X (t) + t3 − 1.

Определить m y (t ), K y (t1 , t 2 ), D y (t ).

Задача 9.5. Случайная функция X (t) задана каноническим разложе-

нием:

X (t) = t + 2 + X 1t 2 + X 2 t 3 + X 3t 4 .

Случайные величины X 1 , X 2 , X 3 имеют следующие математические ожи-

дания и дисперсии:

m X1 = m X 2 = m X 3 = 0; D X1 = 1; D X 2 = 2; D X 3 = 0,1.

Найти каноническое разложение случайной функции Y (t) вида:

Определить m y (t), K y (t1 , t 2), D y (t).

Задача 9.6. Корреляционная функция K x (t1 , t 2) случайной функции

X (t) задана каноническим разложением:

K x (t1 , t 2 ) = 2 sin ωt1 ⋅ sin ωt 2 + 4 cos ωt1 ⋅ cos ωt 2 .

Найти каноническое разложение случайной функции X (t) , если ее мате-

матическое ожидание: m x (t) = t3 + 3.

10. Задача детерминированного линейного оптимального управления

Теоретические сведения

Рассмотрим объект управления, возмущенное движение которого описывается в первом приближении уравнением:

(10.1)

Здесь А и В – заданные матрицы чисел размеров n×n и n×m соответственно; x(t) – вектор состояния (вектор фазовых координат) размерности n×1; u(t) – вектор управления размерности m×1. Рассмотрим также критерий

(10.2)

где R1 и R2 – положительно определенные симметрические матрицы размеров n×n и m×m соответственно. Тогда задача определения u(t), t0 ≤ t ≤ ∞ , при которой критерий минимален, называется задачей детерминированного линейного оптимального управления для регулятора с постоянными параметрами.

Закон управления определяется соотношениями:

(10.3)

где

(10.4)

Установившееся решение Р является решением алгебраического уравнения Риккати:

(10.5)

Р является неотрицательно определенной матрицей.

Решение типовых задач

Задача 10.1. Задача стабилизации угловой скорости.

Объект состоит из двигателя постоянного тока, управляемого входным напряжением μ(t), с угловой скоростью вала ξ(t). Система описывается скалярным дифференциальным уравнением состояния

(10.6)

Критерий оптимальности имеет вид:

(10.7)

В обозначениях (10.1) – (10.5) имеем

x(t) = ξ(t); u(t) = μ(t); A = -α; B =; R1 = 1; R2 = ρ. (10.8)

Подставляя (10.8) в (10.5), получим:

(10.9)

Из (10.9) определим Р. Будем иметь:

(10.10)

Определим матрицу F из (10.4). Получим:

(10.11)

или

(10.12)

Таким образом,

μ(t) =−F*ξ(t). (10.13)

Подставим (10.13), (10.12) в (10.6). Будем иметь:

или

Система, поведение которой описывается таким уравнением, является асимптотически устойчивой, т. к. получена с учетом минимума функционала (10.2).

Рассмотрим другую методику решения задачи синтеза оптимального управления заданным объектом на основе моделирования процессов в комплексной области [2] и сравним подходы между собой.

Перепишем уравнения (10.6) , (10.11) в виде:

(10.14)

Применим к функциям преобразование Лапласа, будем иметь:

(10.15)

Из первого уравнения выразим X(s).Получим:

Зарисуем схему конструируемой САР.

Рис. 10.1. САР стабилизации угловой скорости

Здесь передаточная функция объекта регулирования имеет вид:

В качестве регулятора возьмем безынерционное звено с передаточной функцией:

Задача синтеза стабилизирующего управления предполагает определение значения k1, при котором выполняется первая теорема Ляпунова. На этом и будет строиться решение. Для этого найдем передаточную функцию САР, получим:

Для асимптотической устойчивости САР необходимо, чтобы корень характеристического уравнения был отрицательным, т. е.

Что выполнимо, если

(10.16)

Напомним, что по условию задачи - известные константы. Характеристическое уравнение САР имеет вид:

Поскольку по нему уже было принято решение для обеспечения устойчивости САР, воспользуемся им, и подставим вместо k1 величину с учетом (10.16), при условии, что Подставим полученные результаты в U(t), которая согласно схеме имеет вид:

(10.17)

Подставим (10.17) в (10.15). Будем иметь:

(10.18)

Откуда следует, что для стабилизации управления достаточно обеспечивать уравнение динамики вида:

Система, поведение которой описывается таким уравнением, является асимптотически устойчивой, т. к. уравнение получено с учетом выводов первой теоремы Ляпунова.