Вища математика. Диференціальне та інтегральне числення (стр. 13 )

9. 10.

11. 12.

13. 14.

15. 16.

Властивості невизначеного інтеграла

1. ; 2. ; 3. ;

4. , де ;

5.;

6.Якщо, то, де .
Приклади.

 

 

 

 

 

 

Метод заміни змінної грунтується на введенні під знак інтеграла такої змінної, після підстановки якої та заміни диференціала заданої змінної на диференціал нової змінної отримаємо табличний інтеграл.

Приклади.

 

 

 

 

Метод інтегрування частинами полягає у знаходження невизначеного інтеграла за формулою . Основні типи невизначених інтегралів, до яких застосовується метод інтегрування частинами:

1.; 2. ;

3. ;

4.

5. , застосовуючи двічі метод інтегрування частинами, одержимо лінійне рівняння відносно заданого інтеграла.

Приклади.

 

При інтегруванні тригонометричних виразів, як правило, використовуються метод заміни та тригонометричні формули.

Приклади.

 

 

 

 

Універсальна тригонометрична підстановка

Приклад.

 

Означення. Раціональним дробом називається дріб виду , де та - многочлени. Раціональний дріб називається правильним, коли степінь чисельника є меншим за степінь знаменника. У неправильному дробі завжди можна виділити цілу частину і зобразити його у вигляді суми многочлена та правильного раціонального дробу. Кожний правильний дріб розкладається на суму елементарних раціональних дробів типу:

( - ціле число, ); ( - ціле число, , ).

Теорема. Якщо - правильний раціональний дріб, то в залежності від коренів її завжди можна розкласти на алгебраїчну суму елементарних дробів наступним чином:

1)  якщо серед коренів знаменника є тільки дійсні різні корені , то їм відповідає сума

2)  якщо серед коренів знаменника є -кратний дісний корінь, тобто , то йому відповідає сума

3)  якщо серед коренів знаменника є проста комплексна пара спряжених коренів, тобто (), то цій парі коренів відповідає дріб

4)  якщо серед коренів знаменника є -кратна пара комплексних спряжених коренів, тобто (), то цій парі відповідає сума де - невизначені коефіцієнти, числові значення яких знаходяться за методом невизначених коефіцієнтів.