Вища математика. Диференціальне та інтегральне числення (стр. 3 )

Друга визначна границя:

Функцію, границя якої дорівнює нулю, називають нескінченно малою величиною. Якщо границя відношення двох нескінченно малих величин дорівнює одиниці, то такі нескінченно малі величини є еквівалентними. З першої та другої визначних границь випливають наступні еквівалентні відповідності: при

Невизначеність розкривається шляхом ділення чисельника та знаменника на у старшому степені (перехід від нескінченно великих до нескінченно малих).

Невизначеність розкривається шляхом домноження чисельника та знаменника на спряжене чисельника або на неповний квадрат суми(різниці) залежно від умови.

Невизначеність розкривається або шляхом виділення у чисельнику та знаменнику однакових множників, що прямують до нуля, з наступним їх скороченням, або шляхом заміни нескінченно малих величин еквівалентними нескінченно малими величинами.

Приклади.

Невизначеності розкриваються за допомогою другої визначної границі. Приклад.

Завдання №4. ДОСЛІДЖЕННЯ ФУНКЦІЙ НА НЕПЕРЕРВНІСТЬ ТА РОЗРИВИ

а) дослідити неперервність функції за допомогою визначення

Означення. Якщо функція визначена на відрізку , тобто зліва від точки , тоді границя , якщо вона існує, називається лівосторонньою границею функції в точці , і позначається .

Означення. Якщо функція визначена на відрізку , тобто справа від точки , тоді границя , якщо вона існує, називається правосторонньою границею функції в точці , і позначається .

Означення. Функція , яка визначена в області , називається неперервною в точці , якщо .

Теорема. Всі елементарні функції в області їх визначення є неперервними.

Теорема. Якщо функції та неперервні в точці , то і функції , , , теж неперервні в цій точці.

б) визначити точки розриву функції

Якщо в точці не виконується хоча б одна з умов неперервності функції, то - точка розриву функції . Розриви бувають першого (усувні та стрибкові) і другого роду.

Класифікація точок розриву:

- називається точкою усувного розриву, якщо в цій точці функція неозначена, а ;

- називається точкою розриву першого роду (стрибок), якщо в цій точці функція має односторонні границі, але вони різні, тобто ;

- називається точкою розриву другого роду, якщо границя зліва або границя справа дорівнюють нескінченності , або ці границі не існують.

в) дослідити на неперервність та знайти точки розриву функції

Приклад. Дослідити функцію на неперервність при .

Розв’язання. В точці функція невизначена, тому - точка розриву. Знайдемо односторонні границі:

, .

Оскільки границя справа дорівнює , то в точці функція має розрив другого роду.

Завдання №5. ДИФЕРЕНЦІЮВАННЯ ФУНКЦІЙ РІЗНИХ ТИПІВ

а) знайти похідну складених функцій

Таблиця похідних:

1. ; 2. =; 3. ;

4. ; 5.

6. 7.

Правила диференціювання:

8.

Приклади. (tg sin x)'=; ;

( ctg3x)'=3ctg2x·(-); ;