Вища математика. Диференціальне та інтегральне числення (стр. 5 )

4) Знайдемо екстремуми функції:.

Щоб знайти критичні точки, прирівняємо до 0: Маємо 2 критичні точки: х = -1 та х = -2, але х = -1 не входить в область визначення, тому відразу виключаємо її.

Перевіримо, чи має функція в точці х = -2 екстремум. Визначимо знак похідної в околі критичної точки:

Очевидно, що в точці х = -2 є екстремум (точка максимуму). Знайдемо його: .

5) Знайдемо точки перетину графіка функції з осями координат:

, маємо А(0;1)- точка перетину з ;

, але це неможливо, бо . Робимо висновок, що точок перетину з ОХ немає.

6) Визначимо асимптоти. Перевіримо точку х = -1:

Робимо висновок, що х = -1 є вертикальною асимптотою.

Похилі асимптоти:

= ;

тобто похилої асимптот немає, y=0 - це горизонтальна асимптота;

= , тобто при асимптоти не існує.

Побудуємо графік:

Завдання №7. ВИКОРИСТАННЯ ПОХІДНОЇ ТА ДИФЕРЕНЦІАЛА ФУНКЦІЇ ДО ДЕЯКИХ ПРИКЛАДНИХ ЗАДАЧ

а) визначити границю функцій за правилом Лопіталя

Правило Лопіталя. Нехай у деякому околі точки функції та диференційовні і . Якщо або (тобто маємо невизначеність або ), то .

Правило Лопіталя можна застосовувати неодноразово.

Приклад.

б) обчислити з наближенням

Означення. Диференціалом функції називається головна частина приросту функції , що є лінійною відносно приросту незалежної змінної і дорівнює . Тобто . Диференціал аргументу співпадає з приростом аргументу , тому . У наближених обчисленнях користуються наближеною рівністю, або у розгорнутому вигляді . Остаточно: .

Приклад. Обчислити .

Використовуємо формулу: .

в) розв’язати задачу

Приклад. Під яким кутом пряма перетинає криву

Позначимо кут між прямою та кривою через (це кут між прямою та дотичною до кривої).

Відомо, що , тоді для прямої кутовий коефіцієнт К1=0. Запишемо рівняння дотичної до графіка функції в точці М: якщо y=0.5, то х=arccos0,5=.

Варіанти завдань до розділу «ДИФЕРЕНЦІАЛЬНЕ ЧИСЛЕННЯ»

Варіант 1

Зав. 1. а) ; б); в).

Зав. 2. а) ; б) ;

в) .

Зав. 3. а) ; б) ; в) ;

г) ; д) .