Вища математика. Диференціальне та інтегральне числення (стр. 15 )

Приклад. Обчислити площу, що обмежена лініями: та .

Коли фігура утворена лінією, що задана параметрично , то

Приклад. Знайти площу фігури, що обмежена лініями: , .

Площа не може бути від’ємною, але ми отримали її зі знаком ”-” ,бо кут t не є полярним кутом точок кривої і змінюється за годинниковою стрілкою.

Тому: (кв. од.).

Коли фігура утворена лінією, що задана у полярних координатах , то .

Приклад. Знайти площу фігури, що обмежена кривою, яка задана в полярній системі координат, (лемніската).

б) обчислити довжину дуги кривої

Довжина дуги кривої, що задана в декартовій системі координат, обчислюється за формулою

Приклад. Дано: (від до )

Довжина дуги кривої, що задана параметрично обчислюється за формулою

Приклад. Дано: (від до ) .

Довжина дуги кривої, що задана в полярній системі координат, обчислюється за формулою

Приклад. Дано: , .

Маємо кардіоїду:

в) знайти об’єм фігури обертання

Об’єм фігури обертанням кривої навколо вісі ОХ обчислюється за формулою .

Приклад. Дано:

Об’єм фігури обертанням кривої навколо вісі ОY обчислюється за формулою .

Варіанти завдань до розділу «ІНТЕГРАЛЬНЕ ЧИСЛЕННЯ»

Варіант 1

Зав.8.; ;

;;;; ;;

Зав.9. ; Зав.10. ;;

Зав.11. а) ;

однією аркою циклоїди і віссю

кардіоїдою

б) в)

Варіант 2

Зав8.;;;;; ;;;

Зав.9. ; Зав.10. ;;

Зав.11. а) б) ,

еліпсом