Вища математика. Диференціальне та інтегральне числення (стр. 4 )

= ln = (ln(1+tg) – ln(1-tg)) ;

= = .

б) знайти похідну показниково – степеневих функцій

Показниково-степенева функція має вигляд . Диференціювання такої функції відбувається шляхом логарифмування обох частин рівняння за основою з наступним диференціюванням.

Приклад. Дано: y =. Прологарифмуємо обидві частини рівняння за основою е : ln y = tgx·lnx ; тепер продиференціюємо:

= , ().

Дано: . Прологарифмуємо обидві частини рівняння за основою е: =; тепер продиференціюємо: ,

=.

в) знайти похідну функції, що задана неявно

Функція, що задана неявно, має вигляд . Техніка її диференціювання включає в себе всі правила диференціювання функцій, які задані явно, але треба пам’ятати, що є функцією від. Тому при диференціюванні по вираз з розглядається як складена функція.

Приклад. ;

1+; ; .

г) знайти похідну функції, що задана параметрично

Якщо функція від незалежної змінної задана за допомогою допоміжної змінної (параметра) системою рівнянь , то похідна від функції по знаходиться за формулою

Приклад. ,

.

д) знайти похідну функції другого порядку

Означення. Якщо - похідна від функції , то похідною другого порядку від функції називається похідна від першої похідної, тобто .

Приклад. Дано: . Перша похідна . Друга похідна .

Завдання №6. ЗАСТОСУВАННЯ ПОХІДНОЇ ДО ДОСЛІДЖЕННЯ ФУНКЦІЇ

а) знайти екстремуми та інтервали монотонності функції

Якщо функція зростає (спадає) на проміжку, то на цьому проміжку .

Схема дослідження на екстремум.

Необхідна умова: або . Отримали критичну точку (підозріла на екстремум).

Достатні умови: якщо при переході через змінює знак з «-» на «+», то - точка максимума; якщо при переході через змінює знак з «+» на «-», то - точка мінімума.

б) визначити точки перегину та інтервали опуклості та угнутості функції

Якщо функція вгнута (опукла) на проміжку, то на цьому проміжку .

Схема дослідження на перегин.

Необхідна умова: або . Отримали критичну точку (підозріла на перегин).

Достатня умова: якщо при переході через змінює знак, то - точка перегину.

в) визначити асимптоти графіка функції

Вертикальні асимптоти мають рівняння , якщо - точка розриву другого роду.

Похилі асимптоти мають рівняння , де . Треба пам’ятати, що можливі різні значення цих границь, коли і .

Якщо та існує скінченна границя , то - горизонтальна асимптота.

г) зробити повне дослідження функції та побудувати її графік

Приклад. Дослідити функцію і побудувати її графік.

1) Область визначення:

2) Область значень(ОЗ):

3) Парність функції: y(x) або -y(x) - функція ні парна, ні непарна.