Вища математика. Диференціальне та інтегральне числення (стр. 1 )

Міністерство Освіти і Науки України

Київський національний університет будівництва і архітектури

Н. І.Полтораченко

Вища математика. Диференціальне та інтегральне числення

Рекомендовано науково-методичною радою
Київського національного університету будівництва і архітектури
як навчальний посібник для студентів
спеціальностей 7.080401 ІТЕП, 7.080402 ІУСТ, 7.010104
ПНК

Київ 2010

УДК 517(0.75.8)

ББК 22.16

К88

Рецензенти: В. М.Міхайленко, доктор техн. наук, професор кафедри прикладної математики КНУБА,

, канд. фіз.-мат. наук, доцент кафедри математичного аналіза та теорії ймовірностей КНУУ(КПІ),

, канд. техн. наук, доцент кафедри вищої та обчислювальної математики НАУ.

Затверджено на засіданні науково-методичної ради Київського національного університету будівництва і архітектури 7 квітня 2010 року.

, І.

Вища математика. Диференціальне та інтегральне числення. Навчальний посібник. – К.: КНУБА. 2010. – 72 с.

Викладено теоретичний матеріал та завдання з розділу «Диференціальне та інтегральне числення» в рамках дисципліни «Вища математика», що вивчається на першому та другому курсах КНУБА. Призначений для

студентів спеціальностей 7.080401 ІТЕП, 7.080402 ІУСТ,7.010104 ПНК.

УДК 517(0.75.8)

ББК 22.16

ЗМІСТ

Вступ…………………………………………………………………………….5

ДИФЕРЕНЦІАЛЬНЕ ЧИСЛЕННЯ……………………………………………6

Завдання №1. ДОСЛІДЖЕННЯ ФУНКЦІЇ ТА ПОБУДОВА ЇЇ

ГРАФІКА……………………………………………………………….6

а) знайти область визначення функцiї, дослідити її на парність та періодичність…………………………………………………………...6

б) побудувати графіки функцій, використавши елементарні перетворення графіків, властивості модуля………………………………………….7

Завдання №2. ОБЧИСЛЕННЯ ГРАНИЦЬ ЧИСЛОВИХ

ПОСЛІДОВНОСТЕЙ…………………………………………………..8

Завдання №3. ОБЧИСЛЕННЯ ГРАНИЦЬ ФУНКЦІЙ………………………10

Завдання №4. ДОСЛІДЖЕННЯ ФУНКЦІЙ НА НЕПЕРЕРВНІСТЬ ТА РОЗРИВИ……………………………………………………………………....12

а) дослідити неперервність функції за допомогою визначення………...12

б) визначити точки розриву функції……………………………………...12

в) дослідити на неперервність та знайти точки розриву функції……….13

Завдання №5. ДИФЕРЕНЦІЮВАННЯ ФУНКЦІЙ РІЗНИХ ТИПІВ………13

а) знайти похідну складених функцій…………………………………….13

б) знайти похідну показниково – степеневих функцій………………….14

в) знайти похідну функції, що задана неявно…………………………….15

г) знайти похідну функції, що задана параметрично…………………….15

д) знайти похідну функції другого порядку………………………………16

Завдання №6. ЗАСТОСУВАННЯ ПОХІДНОЇ ДО ДОСЛІДЖЕННЯ

ФУНКЦІЇ…………………………………………………………………....16

а) обчислити екстремуми та інтервали монотонності функції…………..16

б) визначити точки перегину та інтервали опуклості та угнутості

функції………………………………………………………………….....17

в) визначити асимптоти графіка функції………………………………....17

г) зробити повне дослідження функції та побудувати її графік...…….17

Завдання №7. ВИКОРИСТАННЯ ПОХІДНОЇ ТА ДИФЕРЕНЦІАЛА ФУНКЦІЇ ДО ДЕЯКИХ ПРИКЛАДНИХ ЗАДАЧ…………………………..19

а) визначити границю функцій за правилом Лопіталя…………………..19

б) обчислити з наближенням……………………………………………....20

в) розв’язати задачу ……………………………………………………….20

Варіанти завдань до розділу «ДИФЕРЕНЦІАЛЬНЕ ЧИСЛЕННЯ»………..21

ІНТЕГРАЛЬНЕ ЧИСЛЕННЯ……………………………………………….....42

Завдання №8. ЗНАЙТИ НЕВИЗНАЧЕНИЙ ІНТЕГРАЛ………………….....42

Завдання №9. ОБЧИСЛИТИ ВИЗНАЧЕНИЙ ІНТЕГРАЛ…………………..50

Завдання №10. ОБЧИСЛИТИ НЕВЛАСНИЙ ІНТЕГРАЛ…………………..51

Завдання №11. ЗАСТОСУВАННЯ ВИЗНАЧЕНОГО ІНТЕГРАЛА………...52

а) обчислити площу фігури………………………………………………..52

б) обчислити довжину дуги кривої………………………………………..55

в) знайти об’єм фігури обертання…………………………………………58

Варіанти завдань до розділу «ІНТЕГРАЛЬНЕ ЧИСЛЕННЯ»………….........59

Список літератури………………………………………………………………71

Вступ

Посібник містить теоретичний матеріал та завдання з розділу «Диференціальне та інтегральне числення» в рамках дисципліни «Вища математика», що вивчається на першому та другому курсах КНУБА. Матеріал посібника є основою для подальшого вивчення як вищої математики (кратні та криволінійні інтеграли, диференціальні рівняння, ряди, рівняння математичної фізики), так і дисциплін «Фізика», «Теорія ймовірностей та математична статистика», «Теоретична механіка», «Опір матеріалів».

Мета написання навчального посібника – розкрити зміст основних понять та теорем розділу на системно підібраних прикладах розв’язування задач. Формулювання та означення теорем і формул відповідають у більшості випадків підручнику ікова, , «Вища математика» .

Структуру навчального посібника максимально наближена до структури індивідуальних робіт, які виконують студенти при вивченні дисципліни «Вища математика». Кожний параграф посібника заголовком має текст завдання з відповідної індивідуальної роботи.

Навчальний посібник містить 20 варіантів індивідуальних робіт з розділу «Диференціальне числення» (7 завдань) та «Інтегральне числення» (4 завдання).

ДИФЕРЕНЦІАЛЬНЕ ЧИСЛЕННЯ

Завдання №1. ДОСЛІДЖЕННЯ ФУНКЦІЇ ТА ПОБУДОВА ЇЇ ГРАФІКА

а) знайти область визначення функції, дослідити її на парність та періодичність

Якщо кожному елементу множини поставити у відповідність єдиний елемент множини , то говорять, що задана функція :. Аналітичне зображення функції має вигляд: . Множина називається областю визначення функції, множина - областю значень, а сама змінна - аргументом функції. При дослідженні області визначення функції треба пам’ятати:

-  якщо рівняння функції містить операцію ділення, то дільник не повинен дорівнювати нулю;

-  якщо рівняння функції містить корінь парного степеня, то вираз під коренем не повинен бути від’ємним;

-  якщо рівняння функції містить логарифмічну функцію, то вираз під знаком логарифма має бути додатнім;

-  якщо рівняння функції містить функції або , то їх аргументи повинні знаходитися в межах проміжку .

Приклад. Область визначення функції знаходиться з наступної системи: або або

Функція називається парною, якщо її область визначення симетрична відносно нуля та виконується рівність . Графік парної функції є симетричним відносно осі .

Функція називається непарною, якщо її область визначення симетрична відносно нуля та виконується рівність . Графік непарної функції є симетричним відносно початку координат.

Функція називається періодичною, якщо можна вказати таке Т, що для будь-якого з області визначення +Т також належить області визначення та виконується рівність .

б) побудувати графіки функцій, використавши елементарні перетворення графіків, властивості модуля

Нехай задана функція та побудований її графік. Перетворення графіка елементарної функції полягає у наступному:

- - паралельне перенесення графіка функції вздовж осі вправо на відстань , якщо , і вліво на відстань , якщо ;