Вища математика. Диференціальне та інтегральне числення (стр. 14 )

Приклад.

 

 

Приклади деяких розкладів:

 

 

Інтегрування ірраціональних функцій полягає у використанні метода заміни:

Інтеграли	Підстановка
1) 2) 3) Біномний диференціал 1) - ціле число 2) - ціле число 3) - ціле число	, де =НСК розкладається за формулою бінома Ньютона , де - знаменник де - знаменник

Приклад.

Завдання № 9. ОБЧИСЛИТИ ВИЗНАЧЕНИЙ ІНТЕГРАЛ

Нехай на інтервалі задана функція . Поділимо інтервал на нерівних інтервалів . Виберемо довільно по одній точці на кожному з частинних інтервалів . Розглянемо таку суму . Ця сума називається інтегральною.

Означення. Визначеним інтегралом функції на інтервалі називається границя інтегральної суми при умові, що і що ця границя не залежить ні від спеціального способу поділу інтервала, ні від добору точок . Позначається визначений інтервал символом

, де - нижня межа інтегрування, - верхня межа інтегрування.

Теорема. Якщо функція неперервна на , то границя інтегральної суми існує і не залежить ні від способу роздріблення , ні від добору точок .

Властивості визначеного інтеграла:

1) ; 2) ;

3) ; 4) ;

5) якщо на , то .

Визначений інтеграл від неперервної функції на інтервалі може бути обчислений за допомогою формули Ньютона-Лейбніца , де - первісна функція функції . При обчисленні визначеного інтеграла використовується табличне інтегрування, метод заміни, інтегрування частинами аналогічно з невизначеним інтегруванням, але з урахуванням наявності меж інтегрування.

Приклади.

;

;

.

Завдання № 10. ОБЧИСЛИТИ НЕВЛАСНИЙ ІНТЕГРАЛ

Невласні інтеграли першого роду мають вигляд:

Невласні інтеграли другого роду є невласними інтегралами від перервної необмеженої функції:

,

де - точка розриву функції .

Приклади.

; точка х=1 – критична.

Тоді знайдемо:

Так як при інтегруванні були отримані числа, то ці інтеграли збігаються.

Завдання № 11. ЗАСТОСУВАННЯ ВИЗНАЧЕНОГО ІНТЕГРАЛА

а) обчислити площу фігури

Коли фігура утворена двома неперервними кривими та на інтервалі , тоді її площа дорівнює .