Вища математика. Диференціальне та інтегральне числення (стр. 2 )

- - паралельне перенесення графіка функції вздовж осі вгору на відстань , якщо , і вниз на відстань , якщо ;

- - розтягнення графіка функції в раз вздовж осі , якщо ; стискання графіка функції в раз вздовж осі , якщо ; симетричне відображення графіка функції відносно осі , якщо ; комбінація розтягнення(стискання) та симетричного відображення, якщо ;

- - розтягнення графіка функції в раз вздовж осі , якщо ; стискання графіка функції в раз вздовж осі , якщо ; симетричне відображення графіка функції відносно осі , якщо ; комбінація розтягнення(стискання) та симетричного відображення, якщо ;

- - функція парна, тому досить побудувати графік функції при і симетрично відобразити його відносно осі ;

- - симетричне відображення від’ємної частини графіка функції відносно осі .

Завдання №2. ОБЧИСЛЕННЯ ГРАНИЦЬ ЧИСЛОВИХ ПОСЛІДОВНОСТЕЙ

Якщо кожному натуральному числу поставити у відповідність деяке дійсне число ,тоді сукупність елементів називається числовою послідовністю, де - загальний член послідовності .

Означення. Число називається границею числової послідовності , якщо для будь-якого існує номер такий, що для всіх виконується нерівність і позначається .

Обчислення границь базується на наступних властивостях. Якщо існують границі числових послідовностей та , то ;; , .

Застосування властивостей не завжди призводить до шуканого результату. Це може означати, що маємо справу з невизначеностями. Розглянемо основні з них.

Невизначеність розкривається шляхом ділення чисельника та знаменника на у старшому степені (перехід від нескінченно великих до нескінченно малих), при цьому можна зробити деякі висновки:

-  границя частки дорівнює нулю, якщо степінь чисельника менший за степінь знаменника;

-  границя частки дорівнює нескінченності, якщо степінь чисельника більший за степінь знаменника;

-  границя частки дорівнює відношенню коефіцієнтів при старших степенях, якщо степінь чисельника та степінь знаменника рівні.

Приклад. ; ; .

Невизначеність розкривається шляхом домноження чисельника та знаменника на спряжене чисельника або на неповний квадрат суми(різниці) залежно від умови.

Приклад.

При обчисленні границь корисно користуватися формулами сум членів арифметичної та геометричної прогресій. Для арифметичної прогресії

. Для геометричної прогресії . Для нескінченно спадної геометричної прогресії .

Приклад. .

Завдання №3. ОБЧИСЛЕННЯ ГРАНИЦЬ ФУНКЦІЙ

Означення. Число називається границею функції в точці , якщо для будь-якого існує таке число , що для всіх з області визначення, які задовільняють умові , виконується нерівність , і позначається .

Для обчислення границь використовуються властивості, які аналогічні тим, що були наведені у завданні № 2, а також перша та друга визначні границі. Перша визначна границя:

.