Лекции по высшей математике (стр. 11 )

 

 

Если подынтегральная функция  конечное число раз меняет знак на отрезке , то площадь заштрихован­ной на рисунке фигуры  равна алгебраической сумме площадей соответствующих криволинейных трапеций, лежа­щих над осью (со знаком « + ») и под этой осью (со знаком « — »).

 

Для того чтобы получить общую площадь заштрихован­ной отрезок интегрирования  надо раз­бить на частичные отрезки, на которых функция сохраняет знак, то есть

 

.

 

 

Если надо вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями , , то эту площадь рассматривают как разность площадей двух криволинейных трапеций  и . В этом случае

,

если r.

 

 

В случае, когда разность  не сохраняет знак на отрезке , этот отрезок разбивают на частичные отрезки, на каждом из которых функция  сохраняет знак.

 

 

Пример. Определить площадь фигуры, ограниченной кривыми , , .

 

Решение. Решив систему уравнений

 

 

найдем точки , пересечения параболы  и прямой .

 

Следовательно,

 

 

 

 (кв.ед.)

 

Вычисление площадей плоских фигур

в полярной системе координат

 

Пусть требуется вычислить площадь фигуры, ограниченной ли­нией , заданной в полярной системе координат  уравнением , bb. За базовую фигуру в полярной системе коорди­нат принимается криволинейный сектор — фигура, ограниченная линией  и радиусами-векторами , . При этом криволинейный сектор будем считать правильной фигурой, т. е. такой, что любой луч , bb, исходящий из полюса , пересекает линию  не более, чем в одной точке. Будем также предполагать, что функция  непрерывна на отрезке .

 

Для вычисления площади криволинейного сектора  приме­ним алгоритм составления интегральной суммы с последующим предельным переходом к определенному интегралу.

 

1. Разобьем отрезок на частичных отрезков точками . Обозначим , . Проведем лучи ,. Тогда криволинейный сектор  разобьется на  частичных криволинейных секторов.

 

2. На каждом частичном отрезке , выберем произвольным образом точку  и найдем значения функции  в этих точках: .

3. Предположим, что на каждом из частичных отрезков  функция  постоянна и совпадает со значением . Тогда каждый частичный криволинейный сектор можно заменить круговым сектором с радиусом  и центральным углом . Площадь такого кругового сектора вычисляется по формуле

.