Лекции по высшей математике (стр. 8 )

.

 

Таким образом, с геометрической точки зрения определенный интеграл от неотрицательной функции численно равен площади соответствующей криволинейной трапеции.

Условия интегрируемости функций

 

Рассмотрим условия интегрируемости функций на отрезке , т. е. условия существования определенного интеграла. При опреде­лении его как предела интегральной суммы мы предпо­лагали, что функция  ограничена на отрезке . Условие огра­ниченности функций на отрезке  является необходимым усло­вием интегрируемости функций, т. е. справедлива следующая

 

Теорема. Если  существует, то функция  ограничена на отрезке .

 

Ограниченность является необходимым, но не достаточным условием интегрируемости функции на отрезке , т. е. что существуют ограниченные функции, не являющиеся интегрируемыми.

 

Сформулируем без доказательства достаточное условие интегри­руемости функции.

 

Теорема. Если функция  непрерывна на отрезке  , то она интегрируема на этом отрезке, т. е. существует .

 

Отметим, что интеграл Римана существует для значительно более широкого класса функций, нежели рассматриваемый класс непре­рывных функций. В частности, справедлива следующая теорема, обобщающая предыдущую теорему

 

Теорема. Если функция  ограничена на отрезке и непрерывна на нем всюду, кроме конечного числа точек разрыва первого рода, то она интегрируема на этом отрезке, т. е. существует .

 

Основные свойства определенного интеграла

 

Рассмотрим свойства определенного интеграла, доказательство которых основывается на определении определенного интеграла.

 

1. Если нижний и верхний пределы интегрирования равны ( = ), то интеграл равен нулю:

 

2. Если  = 1, то

 

3. При перестановке пределов интегрирования определенный интеграл меняет знак на противоположный:

 

4. Постоянный множитель можно выносить за знак определен­ного интеграла:

.

 

5. Определенный интеграл от алгебраической суммы конечного числа интегрируемых на функций  равен алгебраической сумме определенных интегралов от слагаемых: .

 

6 Аддитивность определенного интеграла). Если существуют интегралы  и , то существует также интеграл  и для любых чисел , ,

.

Геометрический смысл свойства 6 состоит в том, что площадь криволинейной трапеции с основанием равна сумме площадей криволинейных трапеций с основаниями и .

 

7. Если r0 для , то

r0, ()

 

8 Монотонность определенного интеграла). Если интегрируемые функции и  удовлетворяют неравенству r для , то

r, ()

 

9 (Об оценке определенного интеграла). Если  и  — соот­ветственно наименьшее и наибольшее значения функции , не­прерывной на отрезке  , то

bb. (1)

Доказательство. По условию bb для , следовательно, по свойству 8

bb bb,

bb.

⊠

На рисунке дана геометрическая интерпретация свойства 9 в случае, когда r0 . Площадь прямоугольника  равна , площадь прямоугольника равна . Из неравенства (1) следует, что площадь криволинейной трапеции  не меньше площади первого прямоугольника и не больше площади второго.