Лекции по высшей математике (стр. 9 )

 

10(Теорема о среднем). Если функция  непрерывна на от­резке  , то существует такая точка   , что

. (2)

т. е. определенный интеграл от непрерывной функции равен произ­ведению значения подынтегральной функции в некоторой промежу­точной точке отрезка интегрирования и длины этого отрезка.

 

Доказательство. Так как  непрерывна на отрезке , то она по теореме Вейерштрасса до­стигает на  своего наименьшего и наибольшего  значений, т. е.

bb для .

 

Из данного неравенства на основании свой­ства 9 имеем

bb.

Разделив все члены двойного неравенства на  > 0, получим

bb

Обозначим , тогда bb.

Другими словами, число  находится между наимень­шим и наибольшим значениями функции . Поскольку непрерывная на отрезке  функция  по теореме Больцано-Коши принимает все промежуточные значения, лежащие между  и , в том числе и значение , то суще­ствует   , такое, что  = , то есть

, .

⊠

 

Число при этом называется интеграль­ным средним значением функции  на отрезке .

 

На рисунке дана геометрическая интерпретация свойства 10 в случае, когда  > 0 . Так как значение () числен­но равно площади прямоугольника с основанием  и высотой , то теорема о среднем утверждает, что существует прямоугольник, равновеликий криволинейной трапеции .

 

Определенный интеграл с переменным верхним пределом

 

До сих пор мы рассматривали определенный интеграл с постоян­ными пределами интегрирования  и . Если оставить постоянным нижний предел интегрирования , а верхний  изменять так, чтобы , то величина интеграла будет изменяться. Интеграл вида

называется определенным интегралом с переменным верхним пре­делом и является функцией верхнего предела . Здесь для удобства переменная интегрирования обозначена буквой , а верхний предел интегрирования — буквой .

 

С геометрической точки зрения, функция  в случае r0 представляет собой площадь заштрихованной на рисунке криволи­нейной трапеции.

 

Найдем производную от  по , т. е. производную определен­ного интеграла по верхнему пределу.

 

Теорема. Производная опре­деленного интеграла от непрерыв­ной функции  no его перемен­ному верхнему пределу существует и равна подынтегральной функ­ции, в которой вместо переменной интегрирования подставлено зна­чение верхнего предела:

.

Доказательство. Возьмем любую точку  и придадим ей приращение  так, чтобы . Тогда

.

Используя аддитивность определенного интеграла, имеем

.

 

Применяя теорему о среднем, получаем

,

где .

 

По определению производной, учитывая, что функция непрерывна, получим:

.