Лекции по высшей математике (стр. 7 )

 

1) Интеграл подстановкой (или ) сводится к интегралу от рациональной функции относительно  и .

Действительно, применим, например, подстановку  (), тогда , ,

.

 

2) Интеграл  подстановкой  (или ) сводится к интегралу от рациональной функции относительно  и .

 

3) Интеграл  подстановкой (или ) также сводится к интегралу от рациональной функции относительно  и .

 

Пример. Найти .

 

Решение.

 

Выразим  через :

.

Следовательно,

.

Определенный интеграл

 

Интегральная сумма. Понятие определенного интеграла

 

Пусть функция  определена и ограничена на отрезке  , <. Разобьем произвольным образом на  частичных отрезков точками  и обозначим это разбиение через :

 

Пусть  — длина частичного отрезка , . На каждом таком отрезке произвольным образом выбе­рем точку  и составим сумму:

(1)

Эта сумма называется интегральной суммой Римана для функции  на отрезке  , соответствующей данному разбиению  отрезка и выбору промежуточных точек , .

Пусть  — длина наибольшего частичного отрезка разбиения :, называемая диаметром разбиения.

 

Определение. Если существует конечный предел инте­гральной суммы (1) при , не зависящий от способа разбиения  отрезка на частичные отрезки и выбора промежуточных точек , то этот предел называют определенным интегралом (или интегралом Римана) от функции  на отрезке и обозначают

(2)

Если указанный предел существует, то функция  называется интегрируемой на отрезке (или интегрируемой по Риману). При этом  называется подынтегральным выражением,  — подынтегральной функцией,  — переменной интегрирования,  и  — соответственно нижним и верхним пределами интегрирования.

 

Таким образом, определенный интеграл есть число, равное пределу, к которому стремится интегральная сумма, в случае, когда диаметр разбиения  стремится к нулю.

 

 

Геометрический смысл определенного интеграла

 

Пусть функция  непрерывна на отрезке и r0.

 

Определение. Фигура, ограни­ченная графиком  функции , прямыми  и осью  , называется криволинейной трапецией.

Интегральная сумма и ее слагаемые имеют простой геометри­ческий смысл: произведение  равно площади прямоуголь­ника с основанием  и высотой , а сумма  представляет собой площадь заштрихованной ступенчатой фигуры, изображенной на рисунке.

Очевидно, что эта площадь зависит от разбиения  отрезка на частичные отрезки и вы­бора точек .

 

Чем меньше , тем площадь ступенчатой фигуры ближе к площади криволинейной трапеции. Следовательно, за точ­ную площадь  криволинейной трапеции принимается предел инте­гральной суммы при :