Лекции по высшей математике (стр. 6 )

 

Подынтегральная функция рациональна относительно . Заметим, что с помощью универсальной подстановки очень удобно вычислять интегралы вида .

 

Пример. Найти .

Решение. Применим универсальную подстановку :

.

 

Хотя универсальная подстановка всегда позволяет вычислить интегралы вида , однако ее используют сравнительно редко, так как она часто приводит к интегрированию громоздких рацио­нальных дробей. Поэтому в ряде случаев более удобно использовать частные подстановки.

 

В частности, при вычислении интегралов вида  можно вос­пользоваться следующими рекомендациями:

 

1. Если подынтегральная функция нечетна относительно , т. е. , то применяется подста­новка  =.

 

2. Если подынтегральная функция нечетна относительно , т. е. , то используют подстановку  = .

 

3. Если подынтегральная функция четна относительно  и , т. е. , то применяется подстановка .

 

Пример. Найти .

Решение. Подынтегральная функция четна относительно  и . Применяем подстановку :

 

Интегралы вида  (,  , r0, r0). Если хотя бы одно из чисел  или  — нечетное, то, отделяя от нечетной степени один сомножитель и выражая с помощью формулы  оставшуюся четную степень через вторую функцию, прихо­дим к табличному интегралу.

 

Пример. Найти .

Решение.

 

Если же  и  — четные числа, то степени понижаются по­средством перехода к двойному аргументу с помощью тригонометри­ческих формул.

Интегрирование некоторых иррациональных функций

 

Не для всякой иррациональной функции можно найти первообразную, выраженную через конечное число элементарных функций. Рассмотрим интегралы от некоторых иррациональных функций, которые с помощью определенных подстановок приводятся к интегралам от рациональных функций новой переменной.

 

Интегралы вида  (—целые числа). В этих интегралах подынтегральная функция рацио­нальна относительно переменной интегрирования и радикалов от . Они вычисляются подстановкой , где  — общий знаменатель дробей  При такой замене переменной все дроби являются целыми числами, т. е. интеграл приводится к рациональной функции от переменной .

 

Пример. Найти .

Решение. Так как общий знаменатель дробей 1/2 и 1/3 равен 6, сделаем замену . Тогда

 

Интегралы вида . Для нахождения таких интегралов выделяется полный квадрат под знаком радикала:

и применяется подстановка  (или используется свойство №5 неопределенного интеграла ). В результате этот интеграл сводится к табличному.

 

Пример. Найти .

 

Решение.

 

Интегралы вида . В числителе интеграла  выделяется дифференциал выражения, стоящего под знаком радикала, и этот интеграл представляется в виде суммы двух интегралов:

 

 

где  — вычисленный выше интеграл.

 

Пример. Найти .

 

Решение. Имеем интеграл вида :

 

 

Интегралы вида . Вычисление интеграла  сводится к вычислению , подстановкой: .

 

Пример. Найти .

Решение. Имеем интеграл вида :

 

 

Интегралы вида . Существует несколько различных приемов их вычисления, рассмотрим один из таких приемов, основанный на применении тригонометрических подстановок.

 

Квадратный трехчлен путем выделения полного квадрата и замены переменной может быть представлен в виде . Таким образом, достаточно ограничиться рассмотрением трех видов интегралов: