Лекции по высшей математике (стр. 14 )

 

Несобственные интегралы

 

Несобственные интегралы являются обобщением определенных интегралов в случаях бесконечных промежутков интегрирования и неограниченных функций.

 

Несобственные интегралы с бесконечными

пределами интегрирования (первого рода)

 

Пусть функция  непрерывна на проме­жутке  . Тогда она будет непрерывной на любом конечном от­резке , . Для функции , непрерывной на , сущест­вует определенный интеграл

,

зависящий от верхнего предела интегрирования. Этот интеграл определяет некоторую величину, например площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции r0, прямыми  и осью  . Будем неограни­ченно увеличивать верхний предел интегрирования (+¥). При этом возможны два случая: либо  при + ¥ имеет предел, либо не имеет.

 

 Определение. Несобственным интегралом с бесконечным верхним пределом интегрирования от непрерывной функции  на промежутке +¥)называется предел  при +¥:

. (1)

Аналогично определяется несобственный интеграл с бесконечным нижним пределом интегрирования от непрерывной функции  на промежутке (–¥:

. (2)

 

Если пределы в правых частях формул (1) и (2) существуют и конечны, то соответствующие несобственные интегралы называются сходящимися, если пределы не существуют или бесконечны,— то расходящимися.

Несобственный интеграл с двумя бесконечными пределами интегрирования от непрерывной функции  на промежутке ]–¥;+¥[, обозначаемый , предварительно представляют в виде

,

Тогда по определению

, (3)

причем этот несобственный интеграл называется сходящимся, если оба предела существуют. Если хотя бы один из пределов не существует или бесконечен, то несобственный интеграл  называет­ся расходящимся.

Интегралы (1) — (3)называются также несобственными интегралами первого рода.

 

С геометрической точки зрения сходящийся несобственный ин­теграл означает, что фигура, ограниченная кривой r0, прямыми , у = 0 и бесконечно вытянутая в направ­лении оси , имеет конечную площадь .

Аналогичная геометрическая интерпретация имеет место для сходящихся несобст­венных интегралов (2) и (3).

 

Пример. Исследовать на сходимость интеграл .

Решение.

.

Итак интеграл  сходится и определяет площадь  бесконечной криволинейной трапеции, изображенной на рисунке.

Пример. Исследовать на сходимость интеграл

Решение.

–¥.

т. е. данный интеграл расходится. а площадь S бесконечной криволинейной трапеции, изображенной на рисунке не ограничена.

Критерии сходимости несобственных интегралов первого рода

 

Приведем без доказательства три теоремы, с помощью которых можно исследовать вопрос о сходимости некоторых несобственных интегралов первого рода.

 

Теорема. (признак сравнения). Если на промежутке [;+¥[ определены две неотрицательные функции  и , интегрируемые на каждом конечном отрезке , причем 0bb для [;+¥[, то из сходимости интеграла следует сходимость интеграла, а из расходимости интеграла следует расходимость интеграла .

Теорема (предельный признак сравнения). Если на проме­жутке [;+¥[ определены две положительные функции  и , интегрируемые на любом конечном отрезке  , и существует конеч­ный предел

,

то несобственные интегралы  и  сходятся или расходятся одновременно.

 

Теорема. Если на промежутке [;+¥[функция  меняет знак и несобственный интеграл  сходится, то сходится также и .

Отметим, что несобственный интеграл  называют абсолютно сходящимся, если сходится интеграл .