Лекции по высшей математике (стр. 2 )

 

Теорема. Если  и  — две различные первообразные одной и той же функции  на множестве X то они отличаются друг от друга постоянным слагаемым, т. е. =+, где  — постоянная.

 

Доказательство. Пусть  и  — первообразные функции  на X. Их разность  =  является дифференцируемой функцией:   . По теореме Лагранжа , но так как  то следует, что  = , где  — постоянная, то есть  или =+.

⊠

 

Следствие. Если  — некоторая первообразная функции  на множестве X, то все первообразные этой функции определяются выражением , где  — произвольная постоянная.

Операция отыскания первообразной  функции  называ­ется интегрированием.

Определение. Совокупность  всех первообразных функции  на множестве X называется неопределенным интегра­лом и обозначается

.

В этой формуле  называется подынтегральным выраже­нием,  — подынтегральной функцией,  — переменной интегриро­вания, а  — постоянной интегрирования.

 

Таким образом, неопределенный интеграл представляет собой любую функцию, дифференциал которой равен подынтегральному вы­ражению, а производная — подынтегральной функции.

Например:

, так как  или

 

С геометрической точки зрения неопределенный интеграл пред­ставляет собой однопараметрическое семейство кривых  ( — параметр).

На рисунке изображен неопределенный интеграл  от функции , т. е. семейство парабол .

Кривые семейства [] называют интегральными кривыми. Они не пересека­ются между собой и не касаются друг друга. Через каждую точку плоскости про­ходит только одна интегральная кривая. Все интегральные кривые получаются одна из другой параллельным переносом вдоль оси .

 

Основные свойства неопределённого интеграла

 

Рассмотрим свойства неопределенного интеграла, вытекающие из его определения.

 

1. Производная от неопределенного интеграла равна подын­тегральной функции, дифференциал от неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению:

,

 

Доказательство. Пусть  . Тогда

,

.

⊠

 

2. Неопределенный интеграл от дифференциала некоторой функ­ции равен сумме этой функции и произвольной постоянной:

 

Доказательство. Действительно, так как

.

 

Например, .

⊠

 

3. Постоянный множитель можно выносить за знак неопределенного интеграла:

 .

 

Доказательство. Действительно, пусть  — первообразная функции : |  = . Тогда  — первообразная функции : . Отсюда следует, что

  .

где .

⊠

 

4. Неопределенный интеграл от алгебраической суммы конечного числа функций равен алгебраической сумме интегралов от этих функций.

 

Доказательство. Доказательство проведем для двух функций. Пусть  и  — первообразные функций  и : ,. Тогда функции  являются первообразными функ­ций . Следовательно,