Лекции по высшей математике (стр. 15 )

 

Несобственные интегралы от

неограниченных функций (второго рода).

 

Определение. Несобственным интегралом от функции , непрерывной на промежутке и имеющей бесконечный разрыв в точке , или несобственным интегралом второго рода называется предел интеграла  при :

. (4)

Аналогично если функция  имеет бесконечный разрыв в точке , то полагают

. (5)

Если же функция  имеет разрыв второго рода в некоторой внутренней точке отрезка , то, пользуясь свойством адди­тивности определенного интеграла, данный интеграл пред­ставляют в виде суммы двух интегралов:

.(6)

Если пределы в правых частях формул (4) — (6) суще­ствуют и конечны, то соответствующие несобственные интегралы от разрывной функции в точках ,  и  называются сходящимися, в противном случае — расходящимися.

 

С геометрической точки зрения сходящийся несобственный ин­теграл второго рода означает, что фигура, ограниченная кривой r0, прямыми , и бесконечно вытянутая в направлении оси  имеет конечную площадь  .

 

Пример. Исследовать на сходимость несобственный интеграл.

Решение. При  и при  подынтегральная функция имеет бесконечный раз­рыв, следовательно

 

Итак, несобственный интеграл сходится и определяет площадь  бесконечной криволинейной трапеции, изображенной на рисунке.

 

 

 

Пример. Исследовать на сходимость несобственный интеграл .

Решение. При  подынтегральная функция имеет бесконечный раз­рыв, следовательно  является несобственным интегралом второго рода, тогда по определению

+¥.

т. е. несобственный интеграл расходится.

 

Геометрически это означает, что площадь криволинейной трапеции, изображенной на рисунке, не ограничена.

 

Критерии сходимости несобственных интегралов второго рода

 

Вопрос о сходимости несобственных интегралов второго рода можно решить с помощью приводимых ниже теорем, в которых сфор­мулированы признаки сходимости таких интегралов.

 

Теорема (признак сравнения). Пусть в левой (правой) окрестности точки  (точки ) определены две неотрицательные функции  и , причем 0bb. Тогда из схо­димости несобственного интеграла  следует сходимость интеграла , а из расходимости несобственного интеграла следует расходимость интеграла .

Теорема (предельный признак сравнения). Пусть функции  и  положительны на промежутке ,  — точка бесконечного разрыва функций  и . Тогда если существует конечный предел

, то несобственные интегралы  и

сходятся или расходятся одновременно.

 

Аналогично формулируется предельный признак сравнения не­собственных интегралов, имеющих разрыв в точке .

 

Пример. Исследовать на сходимость несобственный интеграл .

Решение. Подынтегральная функция имеет разрыв в точке . Сравним исходный интеграл с интегралом  который, как было показано в предыдущем примере расходится. Воспользуемся предельным признаком сравнения:

.

Следовательно, исходный интеграл тоже расходится.

ЛИТЕРАТУРА

 

1. и др. Основные математические формулы: Справочник /
, , ; Под ред. .— 3-е изд., перераб. и доп.— Мн.: Вышэйшая школа, 1995.—380 с: ил.

2. и др. Математический анализ: Справ. пособие.
В 2 ч. Ч.1 /, , .—Мн.: Вышэйшая школа, 1990.— 272 с: ил.

3. Гусак математика. Т. 2: [Учеб. пособие для естеств. спец. университетов.— 2-е изд., перераб. и доп.— Мн: Изд-во БГУ, 1983.—462 с.

4. Гусак к решению задач по высшей математике. - Мн.: Вышэйшая школа, 1967.

5. , , Кожевникова математика в упражнениях и задачах. - М.; Высшая школа, 1974.

6. Жевняк P.M., Карпук математика. Функция многих переменных. Интегральное исчисление. - Мн.: Вышэйшая школа, 1993.

7. Пискунов и интегральное исчисление, т.1-
М.: Наука, 1976.

8. Руководство к решению задач по высшей математике. /Под ред.
Гурского 1 и 2. - Мн.: Вышэйшая школа, 1989.

9. Сборник задач по общему курсу высшей математики. Под редакцией Мн.: Вышэйшая школа. 1994 г.