Лекции по высшей математике (стр. 12 )

Тогда

. (1)

Приближенное равенство тем точнее, чем меньше частичные отрезки, т. е. чем больше .

4. За точное значение площади S криволинейного сектора  можно принять предел интегральной суммы (1) при .

.

Таким образом, площадь криволинейного сектора вычисляется по формуле

 

.

Пример. Вычислить площадь фигуры, ограниченной , r0.

Решение. Найдем область определения данной функции.

r0

r0

r0

bb

bb,

при  bb,

при  bb,

при  bb,

при  bb,

 

На интервале от 0 до  функция  определена на трех участках. Изобразим график функции на рисунке.

Так как функция периодическая, то

 

Вычисление длины дуги кривой

 

Пусть функция  определена и непрерывна на отрезке и кривая  — график этой функции. Требуется найти длину дуги плоской кривой, заключенной между вертикальными прямыми  и .

 

 

Определим вначале, что мы будем понимать под длиной дуги  плоской кривой . Для этого разобьем отрезок произвольным образом на  частей точками . Обозначим , . Через точки , , проведем верти­кальные прямые, параллельные оси , до пересечения с кривой . Тогда дуга  разобьется на  частей. Соединив каждые две соседние точки разбиения кривой  отрезками (хордами), получим ломаную , вписанную в дугу . Обозначим длину ломаной через :

где  — длина хорды, стягивающей дугу

 

Длина ломаной является приближенным значением длины дуги  (т.е. ). Очевидно, что если увеличивать число  точек разбиения отрезка на частичные отрезки так, чтобы длина максимального из них стремилась к нулю, то длина вписанной ломаной стремится к длине дуги кривой . Если существует конечный предел  при , то этот предел принимается за длину дуги , а саму дугу называют спрямляемой:

. (1)

 

Если конечный предел  не существует, то и длина дуги не сущест­вует, а сама дуга называется неспрямляемой.

 

Покажем теперь, что если функция  на отрезке имеет непрерывную производную , то кривая — спрямляемая, и вы­ведем формулу для вычисления ее длины.

 

Вычислим длину стягивающей хорды

.

 

По теореме Лагранжа

 

 

Следовательно,

 

.