Сигналы и помехи в радиосистемах (стр. 8 )

Таблица 1

n	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15
Z	1	2	2	6	6	18	26	48	60	176	144	630	756	1800

В [7] приведены таблицы порождающих полиномов М-последовательностей.

6. АКФ одиночной М-последовательности.

Основным показателем корреляционных свойств одиночных по­следовательностей является уровень максимальных остатков АКФ. АКФ М-последовательности сложная функция времени и в общем виде может быть записана следующим образом:

(83)

где . Анализ нормированных АКФ М-последовательностей различных значностей N с различными циклическими сдвигами показывает, что модуль максимального бокового остатка не превышает величи­ны , т. е.

(84)

Среди последовательностей одной значности N, сформиро­ванных по одному полиному, но при разных начальных комбинациях (различные циклические сдвиги), существуют последовательности с минимальным уровнем модуля максимального остатка АКФ, которые называются минимаксные, например, у минимаксной М-последова­тельности, полученной по рекуррентной формуле (79)

(85)

Эта последовательность совпадает с кодом Баркера значности 7. У кодов Баркера модуль боковых остатков нормированных АКФ не превышает значения (85). Кодов Баркера всего 6 (N=3, 4, 5, 7, 11 и 13).

Интересно отметить, что сумма всех боковых остатков решет­чатой АКФ одиночной М-последовательности определяется выражением

(86)

На рис. 16 приведены нормированные АКФ одиночных М-после­довательностей значностей 7 (а и б) и 15 (в), причем АКФ (рис. 16,а) принадлежит минимаксной М-последовательности.

7. АКФ периодической М-последовательности. АКФ любой пе­риодической М - последовательности связана со свойством 4, является периодической функцией с тем же периодом, что и М - последовательности в пределах одного периода определяется выражением

(85)

На рис. 17 приведена нормированная АКФ периодической М-­последовательности.

8. Энергетический спектр.

Выражения для энергетических спектров одиночной и периоди­ческой М-последовательности можно найти, воспользовавшись преоб­разованием Винера-Хинчина:

. (86)

Для одиночной М-последовательности энергетический спектр имеет вид

; (87)

где - .спектральная функция огибающей элементарного сим­вола последовательности длительностью

Из выражения (87) следует, что ширина спектра М-последова­тельности определяется спектром элементарного символа последова­тельности длительности и при с учетом свойства (85), F (0) = / So (0) /2 , т. е. постоянная составляющая энерге­тического спектра последовательности совпадает с постоянной составляющей спектральной плотности одиночного символа. На рис.18 (кривая I) в качестве примера показан энергетический спектр оди­ночной М-последовательности значности N= 15 (АКФ соответствует рис. 16,в). Очевидно, что различные циклические перестановки этого сигнала дадут различные спектры вследствие различия АКФ.

Рис.16

Рис.17 Рис.18

Выражение для энергетического спектра периодической М-последовательности имеет вид

. (88)

Энергетический спектр (88) линейчатый и имеет огибающую вида такую же, как и огибающая энергетического спектра прямоугольного импульса длительности . Расстояние между линиями спектра равно , а мощность i-й гар­моники (исключая i=0 ) равна

. (89)

Мощность постоянной составляющей одностороннего спектра

. (90)

На рис. 18 (кривая 2) показан энергетический спектр перио­дической М - последовательности значности N =15. Если значность последовательности увеличивается (без изменения ), огиба­ющая энергетического спектра остается неизменной, возрастает ко­личество линеек спектра (его густота). При этом неизменной ос­тается и эффективная полоса частот, занимаемая видеопоследова­тельностью → .

9. Функция неопределенности (ФН).

Вид ФН М-последовательности позволяет оценить потенциальные возможности ПС - сигнала в области , а именно: точность и разрешающую способность, однозначность и способность к синхрони­зации. Исходя из общего определения ФН через нормированную дву­мерную АКФ, получим для одиночной М-последовательности значнос­ти N[7]:

(91)

где ,

, - двумерная корреляционная функция импульса прямоугольной формы длительности и еди­ничной амплитуды.

. (92)

В конечном виде выражение (91) получено в результате соот­ветствующих подстановок и учета реальных пределов интегрирова­ния. Оно справедливо для любых бинарных последовательностей длиной .

При

(93)

Сечение плоскостью f=0 дает нормированную ре­шетчатую АКФ одиночной последовательности

(94)

При ( сечение плоскостью )

, (95)

где первый нуль имеет место на частоте определяю­щей разрешающую способность ПС-сигнала по частоте.

На рис. 19 приведена диаграмма сечений ФН М-последовательности значности N = 15, вычисленных по формуле (93) при и принимающих положительные значения. Уровень максимальных выбро­сов в плоскости , в этих сечениях не превышает величины . Однако в ФН любой М- последовательности имеются устойчивые выбросы, значения которых достигают 30% от основного пика. Это имеет место в сечениях ФН плоскостя­ми , причем максимальные значения выбросов отме­чаются в плоскости