Конъюнкция преобразуется в дизъюнкцию с таким же набором значений истинности переменных следующим образом:
Для преобразования в импликацию надо руководствоваться формулой, которая тоже приводится здесь без доказательства:
Допустим, у нас имеется сложное конъюнктивное высказывание: “Казак - это пахарь и воин”. Разбив его на два конъюнкта и воспользовавшись приведенными законами преобразования, мы легко получим два высказывания, равносильных исходному, но выраженных иначе - с дизъюнкцией и импликацией: “Неверно, что казак - это или не пахарь, или не воин”, «Неверно, что если казак - пахарь, то он не воин».
На месте переменных A и B может быть и сложное выражение. Возьмем фразу из комедии «Горе от ума», один из персонажей которой говорит: «Умный человек не может быть не плутом». Придадим ему сначала форму конъюнктивного выражения: «Не бывает, чтоб человек был умен и не был плутом» 
. Здесь одна переменная имеет отрицание, но указанные законы все равно применимы и в этом случае. Если проводить преобразование по формуле (2), то получится сначала 
, а потом, после применения упомянутого в разделе 2.1 закона (1), останется
:
На словах это звучит так: «Или не умен, или плут». А вот как выглядит преобразование по третьей формуле:
Переведя полученное выражение в словесную формулировку, имеем: «Если человек умен, то он плут». Если бы мы признавали за истину первое высказывание, то должны были бы признавать и выражения, полученные из него путем эквивалентных преобразований.
При переформулировании первоначальных высказываний после их преобразования не всегда возможно оставлять неизменными словесные выражения пропозициональных переменных. В некоторых случаях их приходится существенно менять по соображениям стилистики вплоть до вставки новых слов, не говоря уже о перестановке слов местами. Внешне это выглядит как нарушение фундаментального требования к мышлению: быть определенным - придерживаться одного и того же однажды выделенного содержания. На деле, однако, нарушений таким образом не вносится, поскольку символическая логика оставляет в рассмотрении, как уже неоднократно подчеркивалось, только семантическое значение предложений и их логические союзы. Лишь они должны оставаться неизменными, а если и меняться, то только в соответствии с законами и правилами для них. Словесная же запись высказываний может меняться. Так что при восстановлении высказывания из формулы, когда оно приняло новую форму в результате преобразований, воспроизводить буквально пропозициональные переменные не приходится. Изменения в них допустимы и даже неизбежны. Надо только следить за тем, чтобы они не исказили смысл логических союзов и не повлияли на семантическое значение высказываний.
Для преобразования выражений с тремя переменными возьмем такое сложное высказывание: “Преступление раскрыто, но неверно, что его раскрыли Петров или Сидоров” - 
, где p — “Преступление раскрыто”, q — “Преступление раскрыл Петров”, r —“Преступление раскрыл Сидоров”. Преобразуем его в такое, которое содержит импликацию вместо конъюнкции, для этого нам понадобится воспользоваться законом (3), а скобку 
мы будем рассматривать как одну переменную:
.
Преобразованное выражение содержит те же переменные, но вместо конъюнкции у него импликация. В новой редакции оно будет звучать уже иначе, чем раньше, хотя и останется тем же самым по смыслу: “Неверно утверждать: если преступление раскрыто, то сделано это Петровым или Сидоровым”.
Дизъюнкция преобразуется в другие выражения по следующим формулам:
Например, дизъюнктивное высказывание “Преступная группа совершила ограбление вчера (p) или позавчера (q)” будет равносильно такому, выраженному через конъюнкцию: “Неверно, что преступная группа не совершала ограблений ни вчера, ни позавчера”. А высказывание “Товар, проходящий через таможню, является экспортным (p) или импортным (q)” может быть преобразовано в равносильное импликативное: “Если товар, проходящий через таможню, не является экспортным, то он является импортным”. Можно также попробовать преобразовать известное латинское изречение: “О мертвых - или ничего, или хорошо”. Сначала напишем формулу для него: 
, где p означает “О мертвых что-нибудь говорить”, q - “О мертвых говорить хорошо”. Преобразование формулы в соответствии с законом (5) пройдет в два этапа:
В обновленной формулировке это же изречение получится таким: “Если о мертвых что-нибудь говорить, то хорошо”. Стоит, пожалуй, обратить внимание на то, что при перестановке местами дизъюнктов (“О мертвых - или хорошо, или ничего”) импликативное высказывание звучит иначе: “Если о мертвых не говорить хорошо, то не надо говорить о них ничего”; или еще так: “Если о мертвых не говорят хорошо, то не говорят о них вообще”.
Возможно, конечно, преобразование этого же изречения и в конъюнкцию по формуле (4):
.
“Неверно (неправильно) говорить что-либо о мертвых и при этом не говорить хорошо”.
Импликация. Формулы для перевода импликативных сложных высказываний в иные их виды:
Чтобы проиллюстрировать эти правила преобразования наглядным примером, возьмем широко известное шутливое изречение: “Кому не везет в картах, тому везет в любви”. Обозначив как p — “Везет в картах” и q — “Везет в любви”, получим запись этой мысли с помощью символов: 
. Преобразование ее в конъюнкцию по формуле (7) и дизъюнкцию по формуле (6) проведем одновременно:
, 
.
Дизъюнктивное высказывание, эквивалентное первоначальному, будет звучать: “Или везет в картах, или везет в любви”; конъюнктивное - “Не бывает, чтобы не везло в картах и не везло в любви”.
Для проведения таких же преобразований на высказывании с тремя переменными можно взять одно из правил поведения пешехода: “Если переходишь улицу (p), то сначала оглянись направо (q) и налево (r)”. Замена формулы, соответствующей этому утверждению 
, потребует обращаться с выражением в скобках как с одной переменной и представляется согласно (6) и (7) в следующем виде:
В результате получим заново восстановленные словесные высказывания, эквивалентные разбираемому правилу: “Или не переходи улицу, или сначала оглянись направо и налево”; “Hевеpно переходить улицу и при этом не признавать, что надо сначала оглянуться направо и налево”.
С помощью указанных законов и выражающих их формул возможно решение и обратной задачи - проверить равносильность высказываний, когда они составлены из одинаковых простых суждений. Попробуем, например, сопоставить известную поговорку (a) “Любопытство - не порок, но большое свинство” с таким утверждением (b): “Неверно, что если любопытство есть большое свинство, то тогда оно - порок”. Можно ли считать их одной и той же мыслью, только по-разному высказанной, или же они не совпадают? Для ответа надо записать оба высказывания символами:
где p означает “Любопытство - порок”, а q - “Любопытство есть свинство”. Теперь осталось только преобразовать либо конъюнкцию в импликацию, либо, наоборот, импликацию в конъюнкцию и посмотреть, получается ли из одной формулы другая или нет. В данном случае проще импликацию превратить в конъюнкцию по формуле (7):
.
С учетом того, что конъюнкты можно переставлять местами, получим:
Видно, что полученная формула в точности идентична той, через которую записано конъюнктивное высказывание: “Любопытство - не порок, но большое свинство”. Значит, одно выражение получается из другого в результате преобразования, и они, стало быть, эквивалентны.
Попробуем также сопоставить еще два выражения, одно из которых является библейским (a): «Нет власти не от бога» (не бывает, чтобы являлось властью и не было от бога). Другое (b), допустим, звучит так: «Или не власть, или не от бога». Одна это мысль или нет? Чтобы ответить на этот вопрос, надо сначала записать то и другое формулой, а затем привести оба выражения к одному знаку:
|
Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 |
Основные порталы (построено редакторами)