Если мы для преобразования выберем первое выражение, которое является конъюнкцией, и его надо превратить в дизъюнкцию, то нам понадобится формула (2):
.
Отсюда видно, что записанное нами дизъюнктивное выражение вовсе не является равносильным первому. На деле, чтобы быть последовательным, надо первое переделывать в такое дизъюнктивное высказывание: «Или не власть, или от бога».
Для преобразования выражения с тремя переменными воспользуемся знакомыми каждому словами из арии о красавице и приписываемых ей склонностях. И запишем их в двух таких выражениях: (a) «Неправда, что или не красавица, или склонна к измене и к перемене»; (b) «Красавица, но неверно, будто склонна к измене и к перемене»:
Здесь, как и в предыдущих случаях с тремя переменными, не только одни и те же переменные, но и целая скобка одинаковая в обоих высказываниях. Разница - в знаке между этой скобкой и другой переменной. Чтобы сравнить их на равносильность, надо привести их к одному знаку именно в этом месте. Допустим, мы возьмемся преобразовывать выражение (a). Но поскольку между скобкой и одиночной переменной дизъюнкция, то выбирать нужную нам формулу, по которой будет происходить преобразование, надо среди (4) и (5). А раз в итоге нам требуется получить конъюнктивное выражение, то значит, нужно, взять (4):
.
Преобразование показывает, что из первой формулы получается именно вторая, следовательно, оба взятые нами выражения идентичны, в них содержится одна и та же мысль.
Попробуем, далее, выразить сами слова арии как импликацию: «Если красавица, то склонна к измене и к перемене» 
. И теперь преобразуем, скажем, выражение (b) в импликативное по формуле (6):
.
Мы увидим, что оба наши выражения являются прямым отрицанием слов из оперы, потому что после преобразования содержащейся в наших высказываниях мысли в импликацию она будет звучать так: «Неверно, что если красавица, то склонна к измене и к перемене».
Задачи на символическую логику
1. Запишите в виде формулы следующее высказывание: “Если Реформатор победит на выборах, то снизятся цены и у всех возрастет зарплата, и если он не победит на выборах, то или не снизятся цены или не возрастет у всех зарплата”. Определите, является ли оно истинным, когда:
1) Реформатор победил, но цены не снизились, а зарплата возросла.
2) Реформатор победил, цены снизились, но зарплата не возросла.
3) Реформатор не победил, но цены снизились, а зарплата не возросла.
4) Реформатор не победил, и цены не снизились, но зарплата возросла.
5) Реформатор победил, но цены не снизились, и зарплата не возросла.
6) Реформатор не победил, но цены снизились, и зарплата возросла.
2. Запишите в виде формулы следующее высказывание: “На выборах будут популярны партия синих и партия белых или, если не будет популярна партия синих, то будет популярна партия зеленых”. Оцените истинность такого прогноза, если на самом деле:
1) Были популярны все три партии.
2) Ни одна из этих партий не была популярна.
3) Были популярны синие и белые и не популярны зеленые.
4) Были не популярны синие и зеленые и популярны белые.
3. Запишите в виде формулы следующее высказывание: “Овнам на ближайшее время рекомендуется деловая активность или внимание к семейным делам и, кроме того, если не деловая активность, то занятия спортом”. Будет ли поведение соответствовать такому прогнозу, если:
1) Деловая активность низкая, уделяют внимание семейным делам и не обращаются к спорту.
2) Деловая активность низкая, уделяют внимание семейным делам и обращаются к спорту.
3) Деловая активность низкая, не уделяют внимания семейным делам и не обращаются к спорту.
4) Деловая активность низкая, не уделяют внимания семейным делам и обращаются к спорту.
4. Запишите в виде формулы следующее высказывание: “Если зарплату выдают вовремя, то значит, ожидаются или выборы или акции протеста населения, и если не ожидаются выборы и одновременно нет акций протеста населения, то зарплату не выдают вовремя”. Оцените истинность этого высказывания, если на самом деле:
1) Зарплату выдают вовремя, ожидаются выборы, но не ожидаются акции протеста населения.
2) Зарплату выдают вовремя, не ожидаются выборы, зато ожидаются акции протеста населения.
3) Зарплату выдают вовремя, ожидаются выборы, ожидаются акции протеста населения.
4) Зарплату выдают вовремя, но не ожидаются ни выборы, ни акции протеста населения.
5. Запишите в виде формулы следующее высказывание: “Неверно, что на работу в это учреждение принимают тогда и только тогда, когда пройдешь собеседование и будешь аттестован положительно”. Оцените его истинность, если на самом деле:
1) На работу принимают без собеседования и аттестации.
2) На работу не принимают после собеседования и положительной аттестации.
3) На работу не принимают без собеседования и без положительной аттестации.
4) На работу принимают после собеседования, но без положительной аттестации.
Придумайте сами какие-нибудь сочетания условий и просчитайте данное выражение для них.
6. Запишите в виде формулы следующее высказывание: “Это предприятие уплачивает налоги и оказывает благотворительность тогда и только тогда, когда не вносит платежи”. Оцените его истинность, если на самом деле:
1) Предприятие не уплачивает налоги, оказывает благотворительность и не вносит платежи.
2) Предприятие не уплачивает налоги, оказывает благотворительность и вносит платежи.
3) Предприятие не уплачивает налоги, не оказывает благотворительность и вносит платежи.
4) Предприятие уплачивает налоги, оказывает благотворительность и не вносит платежи.
Придумайте сами какие-нибудь сочетания условий и просчитайте данное выражение для них.
Проделайте то же самое для выражения: “Это предприятие уплачивает налоги или оказывает благотворительность тогда и только тогда, когда не вносит платежи”.
7. Запишите в виде формулы следующее соглашение между поставщиком приборов и его контрагентом: “Если или прибор окажется неисправным, или прибор исправен, но не прибудет наладчик, то поставщик уплачивает штраф”. Определите, обязан ли поставщик платить штраф при указанных ниже условиях. Напоминаем, что из-за особенностей импликации (см. ч. 2, § 1.2) для любого набора условий просчитывать надо дважды: а) штраф уплачен, б) штраф не уплачен.
1) Прибор исправен, прибыл наладчик.
2) Прибор неисправен, прибыл наладчик.
3) Прибор исправен, не прибыл наладчик.
4) Прибор неисправен, не прибыл наладчик.
8. Запишите в виде формулы следующее соглашение между издательством и его автором: “Издательство уплачивает гонорар тогда и только тогда, когда книга распродается в течение года и отпускная цена не была снижена”. Определите, обязано ли издательство уплатить гонорар при указанных ниже условиях.
1) Книга распродана в течение года, цена была снижена.
2) Книга распродана в течение года, цена не была снижена.
3) Книга не распродана в течение года, цена была снижена.
4) Книга не распродана в течение года, цена не была снижена.
9. Запишите в виде формулы следующие конъюнктивные высказывания и затем составьте эквивалентные им дизъюнктивные и импликативные высказывания:
а) Приют наш мал, зато спокоен.
б) Мал золотник, да дорог.
в) Имею желание, но не имею возможности.
г) Не бывает (не верно), чтобы и волки были сыты, и овцы целы.
10. Запишите в виде формулы следующие дизъюнктивные высказывания и затем составьте эквивалентные им конъюнктивные и импликативные высказывания:
а) Завтра ожидается дождь или снег.
б) Допуск к документам дает или директор, или его заместитель.
в) Или мы повесим невиновного человека, или Британская империя полетит в преисподнюю.
г) На этой неделе не будет или света, или горячей воды.
11. Запишите в виде формулы следующие импликативные высказывания и затем составьте эквивалентные им конъюнктивные и дизъюнктивные высказывания:
а) Когда Солнце в зените, то подсолнечник обращен на юг.
б) Кому не везет в картах, тому везет в любви.
в) Когда на улице туман, то самолеты не летают.
г) Если гром не грянет, то мужик не перекрестится.
д) В случае пожара звоните 01.
12. Всегда ли равносильны следующие пары выражений? Проверьте равносильность, воспользовавшись формулами для эквивалентных преобразований.
1.1. Кто с мечом к нам придет, тот от меча и погибнет.
1.2. Неверно, что кто-то придет к нам с мечом и не погибнет от меча.
2.1. Если гора не идет к Магомету, то Магомет идет к горе.
2.2. Или гора не идет к Магомету, или Магомет не идет к горе.
3.1. Если он не является прилежным учеником, то он получает низкие оценки.
3.2. Или он является прилежным учеником, или получает низкие оценки.
4.1. В тесноте, да не в обиде.
4.2. Неверно, что или не в тесноте, или не в обиде.
5.1. Не бывает, чтобы что-то являлось властью и не было от Бога.
5.2. Если является властью, то от Бога.
6.1. Бывают состояния «не мир и не война».
6.2. Неверно, будто если не мир, то война.
7.1. Все преходяще, а музыка вечна.
7.2. Неверно, что если все преходяще, то и музыка невечна.
8.1. Неправильно на охоту идти и собак кормить.
8.2. Или на охоту не идти, или собак не кормить.
13. Проверьте равносильность следующих пар высказываний, записав их с помощью формул:
1.1. Если только судьбу можно хвалить или порицать за наши дела, значит, только она определяет все наши помыслы.
1.2. Неправильно только судьбу хвалить или порицать за наши дела, хотя и не признавать только ее определяющей все наши помыслы.
|
Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 |
Основные порталы (построено редакторами)