Однако необходимо помнить, что исчисление высказываний - первый шаг в становлении символической логики. В нем пока еще много несовершенного. Раньше уже говорилось об упрощении действительной мысли в отрицаниях и импликациях. А когда их несколько в одной достаточно большой формуле, то дело может доходить и до нелепостей. Поэтому громоздкие формулы для целей выражения мысли ненадежны.
Одна и та же формула описывает множество разных по содержанию высказываний. Так, предложение “Если встречу Катю, то пойдем с ней в кино или в театр” запишется в виде следующего буквенного выражения: (p (q
r)). Но можно привести и множество других высказываний, которые запишутся с помощью этой же самой формулы. Например: “Если дверь открыта, значит, дома брат или сестра”, “Если электросчетчик работает, значит, включена плита или телевизор”, “Если политик выполнит обязательства, то понизятся цены или возрастет зарплата”. Формула передает только то общее, что характерно для всех приведенных примеров, поскольку, как мы помним, высказывание оставляет от суждения только одно свойство - быть либо истинным либо ложным. Все остальное выпадает из рассмотрения. Истинностные значения остаются, разумеется, неизменными при одних и тех же сочетаниях значений переменных, какое бы содержание в них ни вкладывалось. Причем, заметьте, самое первое из взятых нами высказываний не допускает, если подумать над его смыслом, чтобы при ложности p были истинными q и r (p=0, q=1, r=1); между тем формула может быть вычислена и при этих значениях тоже и даже окажется истинным высказыванием. Это значит, что встреча с Катей не получается, но выход с ней в театр и кино состоится.
Такая несуразица возникла не из-за несовершенства языка символической логики, так как данный вариант не является ложным (для других высказываний из того же набора полученное сочетание вполне допустимо). Он невыполним вообще. Чтобы его избежать, надо было воспользоваться более сложным выражением, скажем, таким: “Если встречу Катю, то пойдем с ней в кино или в театр, и, если не встречу Катю, то не пойдем ни в кино, ни в театр”. Соответствующая формула будет выглядеть так: 
. При тех же значениях переменных, которым соответствуют недопустимые по самой сути дела стечения обстоятельств, она образует ложное высказывание.
Язык символической логики позволяет обнаруживать некоторые трудно уловимые нюансы в нашей речи. Возьмем высказывание: “Он мухи не обидит, а если и обидит, то прощения попросит”. Формула для него запишется таким образом: а семантические значения можно видеть в помещенной выше таблице 4. Подобными выражениями мы обычно характеризуем обходительных людей, и если в общении с ними столкнемся со случаем, когда такой человек все же доставил кому-то неприятности (p=1), но тут же принес извинения (q=1), то подумаем, что такое поведение подтверждает данную ему характеристику. Однако, взявшись просчитать формулу при отмеченных значениях переменных, мы обнаружим, что она, как ни странно, дает ноль (см. табл. 4), т. е. слова о нем не соответствуют его поступкам. Все станет понятно, стоит лишь переставить местами слова в высказывании: “Если он обидит хотя бы только муху, то попросит прощения, но вообще-то он никого не обидит”. Формула для обновленного выражения остается той же самой, ибо последовательность изложения не имеет принципиального значения. Просто в такой формулировке меняются акценты. В высказывании одна половина фразы категорически заверяет, что данный человек вообще никого не обижает, а другая половина фразы всего лишь усиливает это убеждение. На деле анализируемая формулировка некорректна. Правильнее использовать вместо союза «и» союз «или» между скобкой и переменной: “Он или не обидит даже мухи, или, если и обидит, то попросит прощения” . Таблица 4 показывает, что данная характеристика будет точнее передавать обходительный образ действий, если ее выразить именно таким способом.
Формулами можно выражать и договорные отношения, а затем проверять, были ли они выполнены в тех или иных обстоятельствах. Скажем, транспортная организация могла бы заключить такой договор: «Если действует железнодорожное сообщение, а груз задерживается, то фирма уплачивает штраф» , p – «Действует железнодорожное сообщение», q – «Груз задерживается», r – «Фирма уплачивает штраф». Зависимость истинностного значения такой формулы от набора переменных показана в табл. 5. Из нее видно, что при функционирующем транспорте, задержанном грузе и уплаченном штрафе (p=1, q=1, r=1) формула дает значение “истинно”, иными словами, договорные обязательства будут соблюдены. А если в тех же условиях штраф не уплачен (p=1, q=1, r=0), то просчет формулы дает значение “ложно”, стало быть, договор будет нарушен. Это, разумеется, соответствует интуитивным ожиданиям, но обратите внимание, что других нарушений такого договора, оказывается, нет (при всех остальных наборах переменных значение формулы – только единица). Так что даже если транспорт не действует, груз не задержан, а штраф тем не менее уплачен (p=0, q=0, r=1), договор все же надо считать соблюденным, хотя это явная нелепость. Дело здесь в тех особенностях импликации, о которых ранее говорилось. Ее консеквент содержит следствие, которое может вызываться не только явлением или действием, указанными и в антецеденте, но и многими другими, совершенно посторонними обстоятельствами. Поэтому для определения соответствия действий сторон договорным обязательствам надо просчитывать каждый раз два варианта: штраф уплачен и штраф не уплачен. В данном случае окажется, что нести штрафные санкции нет необходимости в том смысле, что договорные обязательства будут выполнены как при уплате штрафа, так и при неуплате. Могут быть также формулировки, в которых в случае уплаты и неуплаты договор не выполняется. Можно придумать и более корректное выражение: «Если груз задерживается, то фирма платит штраф тогда и только тогда, когда действует железнодорожное сообщение» . Это выражение точнее предыдущего (см. табл. 5), но и здесь в отдельных сочетаниях обстоятельств (например, транспорт не действовал, но груз не задержан (p=0, q=0)), недвусмысленная оценка выполнения или невыполнения обязательств по договору получается лишь через двойной просчет формулы.
Таблица 5
| p | q | r |
|
|
|
|
1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
|
| 1 0 1 0 1 0 1 0 | 1 1 0 0 1 1 0 0 | 1 1 1 1 0 0 0 0 | 1 1 1 1 0 1 1 1 | 1 0 1 1 0 1 1 1 | 1 0 0 0 0 1 1 1 | 1 0 1 1 0 1 0 0 |
Допустимо также использование вместо эквивалентности импликации. Тот же самый договор звучал бы тогда так: «Фирма уплачивает штраф тогда и только тогда, когда железнодорожное сообщение действует, а груз задерживается» . В таком выражении договора двойной подсчет не требуется нигде, так как при соблюдении всех условий формула дает значение «истинно», а при несоблюдении – «ложно» (см. табл. 5). Но и здесь имеются свои тонкости. Если бы нам вздумалось те же условия выразить в отрицательной форме, то, как ни странно, получится немало самых настоящих нелепостей. В самом деле, выразим те же условия в таком виде: «Фирма не уплачивает штраф тогда и только тогда, когда железнодорожное сообщение не действует и груз задерживается» . Казалось бы, это та же самая мысль, только выражена она иначе. Тем не менее из табл. 5 видно, что совпадение с предыдущей формулой имеет место лишь отчасти. Причем если бы транспорт не действовал, но груз не задержался, а фирма все же уплатила штраф, то так сформулированный договор был бы соблюден, и наоборот, если бы она не уплатила штраф, то это означало бы нарушение договорных условий. На самом деле, чтобы зафиксировать договорные условия в отрицательной форме, надо воспользоваться формулой , которая на словах выражается так: «Фирма не уплачивает штраф тогда и только тогда, когда или железнодорожное сообщение не действует или груз не задерживается». Ее цифровые значения при любых наборах переменных полностью совпадают с той корректной формулой из табл. 5, для которой, как было отмечено, не требуется двойного просчета.
В общем-то тут надо помнить как о недостатках естественного языка, так и о несовершенстве языка логики высказываний. Дальнейшие уточнения таких вопросов здесь были бы излишними. Достаточно отметить, что без символической логики, возможно, мы не заметили бы таких тонких зависимостей в смыслах предложений.
2.3. Основные эквивалентности
Помимо определения истинности сложных составных предложений методы символической логики позволяют также проверять последовательность и определенность мысли, когда она переформулируется в других выражениях. При этом она может оставаться как тождественной самой себе, только высказанной иными словами, так и замененной на другую, вытекающую в качестве следствия из нее. Ключевую роль в этом играет эквивалентность.
В символической логике доказано, что одни логические союзы могут заменяться на другие и при этом не нарушится смысл высказывания. Выражение, содержащее, скажем, союз “или”, можно при желании переформулировать в такое, в котором вместо него будет стоять, например, конъюнкция или, скажем, импликация; и если исходное выражение было истинным, то и полученное в результате преобразования тоже останется истинным. Мы остановимся лишь на самых распространенных видах сложных высказываний - конъюнкции, дизъюнкции и импликации. Они являются также наиболее употребительными и в обычном языке. Доказательство формул для преобразования одних видов суждений в другие очень сложно, мы его опускаем, беря формулы каждый раз уже готовыми.
|
Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 |
Основные порталы (построено редакторами)