Надо помнить, что языковые выражения не всегда соответствуют формальным требованиям. Это заметно и на эквивалентности. Скажем, предложение “Если будешь плохо работать, то будешь уволен” сформулировано как импликативное, но на самом деле оно ближе к эквивалентности. И будет лучше, если мы выразим его именно такой формулой, обозначив составные части, как и раньше, через p и q: p
q. В этом можно убедиться, перебрав все варианты для значений переменных. Действительно, при истинности антецедента и консеквента (человек плохо работает, и его уволили) сделанное заявление надо, конечно, оценить как истинное. Далее, при ложном антецеденте и истинном консеквенте импликацию надо было бы считать истинной. Однако в нашем случае это означало бы признать указанное заявление правильным, несмотря на то что человек вовсе не работал плохо (высказывание p о его плохой работе ложно), а его все равно уволили (высказывание q о его увольнении истинно). Точнее поэтому будет признать такое выражение эквивалентностью, которая в таком наборе значений переменных является ложной. И третий вариант, когда работника не увольняют (высказывание об увольнении ложно), хотя работает он плохо (высказывание о плохой работе является истинным), тоже подходит к эквивалентности. Наконец, при ложности обоих простых высказываний эквивалентность и импликация образуют истинные высказывания, и это соответствует по смыслу той ситуации, которая взята у нас в качестве примера.
Введенный таким образом символический язык позволяет превращать в формулы довольно сложные сообщения, составленные из нескольких простых суждений в их самых разных сочетаниях. Так, известная поговорка “Пока гром не грянет, мужик не перекрестится” запишется у нас в следующем виде: (
), где p означает «гром гремит», а q – «мужик крестится».
Высказывание о том, что матерью можно стать тогда и только тогда, когда родишь или усыновишь ребенка, потребует трех переменных: p - стать матерью, q - родить ребенка, r - усыновить ребенка. Тогда соответствующая формула будет выглядеть так: (
.
Возьмем еще несколько выражений, состоящих из трех или четырех простых высказываний, и запишем их формулами.
Неправда, что наше предприятие получает доход тогда и только тогда, когда не платит налоги или не вносит платежи (
) : 
Если его можно назвать преступником (p), то неправда, будто над ним не состоялся суд (
) и он не был на нем изобличен (): 
Если погода окажется нелетной (
) и самолет не прилетит (), то нам придется ехать поездом (r) или плыть пароходом (s): 
2.2. Нуль - единичная проверка истинности высказываний
Любое сложное выражение также может оказаться как истинным, так и ложным, в зависимости от истинностного значения входящих в него простых высказываний. И надо уметь вычислять истинностное (семантическое) значение сложных высказываний, записанных в виде формулы.
Возьмем какое-нибудь конкретное высказывание, допустим, такое: “Если получу стипендию, то куплю себе учебник по логике, а если не получу стипендию, то учебник по логике покупать не стану”. Обозначим через p простое высказывание “Получу стипендию” и через q - “Куплю учебник по логике”. Тогда формула для этого выражения будет выглядеть так:
Предположим, далее, что на самом деле учебник не был куплен, хотя стипендия была получена. На языке символической логики это означает, что высказывание p является истинным (p=1), а высказывание q - ложным (q=0). В данном случае само собой понятно, что сделанное заявление о покупке учебника при получении стипендии не соответствует реальным делам, следовательно, ложно. Но нам надо получить этот результат с помощью подсчета (так, чтобы к нему могла бы прийти и машина). Для разрешения данной формулы надо сначала подставить в нее вместо буквенных переменных их цифровые значения. Тогда получим:
Теперь следует поэтапно упрощать выражение. Сначала проведем отрицания внутри скобок, остальную же часть формулы пока просто перепишем без изменений. Поскольку в таблице истинности отрицание обозначено как p, то для вычисления выражения 
надо найти в столбце для p ту строку, где стоит 1 (первая строка), и найти после этого цифру, которая соответствует ей в столбце 
. В этом месте находится нуль: отрицание истинного высказывания дает высказывание ложное. Значит, отрицание единицы можно заменить на нуль.
Аналогично отрицание нуля можно заменить на единицу:
Следующим шагом мы должны вычислить две импликации. Левой из них в колонках для p и q соответствует третья строка, и импликация в этой строке является ложной (там стоит цифра нуль); значит, выражение (1
0) можно заменить на 0. Для правой берем вторую строку; в колонке импликации на ней стоит цифра 1. Значит, выражение (01) можно заменить на 1. Тогда формула сведется к конъюнкции, которая легко вычисляется аналогичным образом и заменяется на нуль:
(0
1),
0.
Если выразить все преобразование одной строкой, то оно будет выглядеть так:
Получается, вся эта формула при данных значениях переменных содержит ложное высказывание. Это надо понимать так: автор высказывания о покупке учебника после получения стипендии на самом деле не сдержал своего слова. Мы могли бы проверить истинность его намерения и при других значениях переменных. Поскольку их всего две, то возможных наборов четыре - столько же, сколько и у простых функций. Результаты сведены в таблицу (табл. 3).
Таблица 3
p | q |
|
|
|
|
|
1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
1 0 1 0 | 1 1 0 0 | 0 1 0 1 | 0 0 1 1 | 1 1 0 1 | 1 0 1 1 | 1 0 0 1 |
Из табл. 3 видно, что если бы высказывание сопровождалось приобретением учебника, несмотря на то что стипендия не была получена (вторая строка), то слова автора высказывания надо было бы признать не соответствующими делам. В то же время его высказывание является истинным в том случае, если стипендии не было и учебник не был куплен (последняя строка). Тем более его высказывание не является ложным, если после получения стипендии учебник был куплен. Легко увидеть, вникнув в содержание всего заявления, что именно так мы и сами оценили бы его истинность при всех перечисленных вариантах реальных обстоятельств.
Возьмем в качестве примера следующую ситуацию. Предположим, руководитель предприятия заверяет своих коллег: «Неправда, будто мы или получим льготный кредит, или не достроим новое здание». И допустим, далее, что кредит был получен, а здание достроено. Спрашивается, сказал ли он правду? Обратимся к методу нуля и единицы. Формула, выражающая слова руководителя, должна представлять собой отрицание нестрогой дизъюнкции, причем с одной ее стороны переменная, с другой – переменная с отрицанием: 
, где p – «Получен льготный кредит», q – «Достроено новое здание». Так будет выглядеть записанная в виде формулы информация. Сами же действительные обстоятельства запишутся в виде значений пропозициональных переменных: оба простых высказывания истинны (p=1, q=1).
Подставим, как и прежде, в формулу вместо переменных их числовые значения и проведем поэтапное вычисление:
Ноль говорит о том, что слова руководителя не соответствуют тому, что произошло на самом деле, то есть его слова ошибочны или ложны. Вычисление других возможных значений формулы и их интерпретацию предоставляется выполнить самостоятельно. Результаты можно сверить по данным табл. 4.
Таблица 4
| p | q |
|
|
|
1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
|
| 1 0 1 0 | 1 100 | 0 1 0 0 | 0 1 0 1 | 1 1 0 1 |
Подобным образом можно вычислять семантические значения любых формул, как бы сложны они ни были. Причем если переменных больше двух, то, разумеется, и вариантов их сочетаний больше: при трех - 8, при четырех - 16 и т. д. Исчисление высказываний, как и правила традиционной логики, обеспечивает последовательность в выводах и рассуждениях.
|
Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 |
Основные порталы (построено редакторами)