Обзор возможностей математических пакетов MathCAD 2000, MathLAB 5.0, Mathematica (стр. 10 )

имеющая несколько отличную от (2.13) структуру.

Следующие два метода тоже являются обобщениями способа Ньютона для приближённого решения уравнения.

2.4.3. Метод Чебышева.

Требуется найти вещественный корень уравнения f(x) = 0, изолированный в интервале (a, b). Функция f(x) предполагается непрерывной вместе с производными до n-го порядка включительно, причём в интервале (a, b) [5]. Рассмотрим кривую . Распорядимся параметрами ξ, A1, A2, …, An так, чтобы кривые y=f(x) и в точке с абсциссой x0 из интервала (a, b) имели касание n-го порядка. Говорят, что кривые y=f(x) и y=φ(x) в точке с абсциссой x0 имеют касание n-го порядка, если

Геометрически точка касания n-го порядка является предельным положением (n+1) точек пересечения кривых y=f(x) и y=φ(x) при стремлении этих точек пересечения к точке с абсциссой x0. В данном случае кривая y=φ(x) неявно определяется уравнением [5].

При таком выборе параметров ξ, A1, A2, …, An за приближённое значение искомого корня можно принять абсциссу точки пересечения кривой с осью Ox, т. е. число ξ.

Если n=1, то (способ Ньютона).

Если n=2, то . (2.15)

Если n=3, то (2.16)

Если n=4, то

(2.17)

Приведём оценки погрешности значений корней, найденных по формулам (2.15) и (2.16).

Для формулы (2.15) при n=2

Для формулы (2.16) при n=3

2.4.4. Метод Данко.

Для отыскания действительного корня уравнения f(x)=0, изолированного в интервале (a, b), рассматривается кривая [5]

(2.18)

имеющая с кривой y = f(x) в точке с абсциссой x0 (a<x0<b) касание n-го порядка. Примем за приближённое значение корня абсциссу точки пересечения этой кривой с осью Ox, т. е. .

НЕ нашли? Не то? Что вы ищете?

Из условия касания находим это приближённое значение:

, (2.19)

где

Если n=1, то уравнение (2.18) определяет прямую линию и для приближённого значения корня получается формула способа Ньютона.

Таким образом, формула (2.19) обобщает способ Ньютона для приближённого решения уравнений [5].

Если n=2, то

. (2.20)

Если n=3, то

(2.21)

Порядок выполнения работы.

1. Отделить графически корень уравнения.

2. Задать начальное приближение.

3. Составить программу вычисления корня уравнения.

4. Найти корень уравнения.

5. Сравнить результаты, полученные различными методами.

Таблица 2.4

Варианты заданий.

№ вар.	f(x)	№ вар.	f(x)
1		15
2		16
3		17
4		18

			Продолжение табл. 2.4
№ вар.	f(x)	№ вар.	f(x)
5		19
6		20
7		21
8		22
9		23
10		24
11		25
12		26
13		27
14		28

2.5. Лабораторная работа №5.

Решение систем нелинейных уравнений.

2.5.1. Метод простых итераций.

Рассмотрим произвольную нелинейную систему уравнений в Rn [10].

или в более краткой векторной форме

f(x) = 0,

здесь .

Метод простых итераций (метод последовательных приближений) решения системы состоит в замене исходной системы эквивалентной ей системой

и построении последовательности

сходящейся при к исходному решению системы. Таким образом, данный метод является естественным обобщением метода простых итераций для одного уравнения [10].

Близость последовательных приближений (итераций) к точному решению x определяется по-разному для разных норм вектора. Нетрудно показать, что

где ξ – точка, лежащая между точками n-мерного пространства и x на прямой, соединяющей эти точки.

Из этого равенства видно, что сходимость итераций определяется свойствами матрицы производных и имеет место, если какая-либо её норма, согласованная с нормой вектора, меньше единицы.