n | bn | Rn(x) |
2 | 0,25 | 0,1617165 |
3 | 0,0416667 | 0,0400248 |
4 | 0,0052083 | 0,0079249 |
5 | 0,0005208 | 0,0013076 |
6 | 4,34E-05 | 0,0001849 |
7 | 3,1E-06 | 2,289E-05 |
8 | 1,938E-07 | 2,517E-06 |
9 | 1,076E-08 | 2,492E-07 |
Таблица 2.13
В табл. 2.13 верхние оценки остаточного члена в формуле Тейлора при x = 0,99 и коэффициентов при старших членах экономизированного ряда. Из таблицы видно, что для функции sin(x) экономизация возможна начиная с n = 5 на один член рада. В нашем случае при 
экономизация невозможна.
Тем не менее, покажем технику экономизации в тех случаях, если это возможно. Пусть n = 5. В этом случае при x = 0,99 
.
Для 
, произведя замену 
, после приведения подобных членов получим: 
. Отбросив последний член ряда, имеем: 
.
Степень последнего многочлена на два порядка меньше, чем в формуле Тейлора, и в то же время удовлетворяет заданной точности вычисления.
3. Тестирование в пакете MathCAD программ и алгоритмов, реализующих различные методы вычислений
3.1. К лабораторной работе №2. Анализ точности вычислительных процессов.
Рис. 3.1. Граф вычислительного процесса.
3.2. К лабораторной работе №3. Методы решения алгебраических и трансцендентных уравнений.
Найти корень уравнения 
с точностью e = 0.0001.
· Отделяем корень графически.
Рис. 3.2.
Легко видеть, что x > 0. Преобразуем уравнение к виду 
. Здесь 
, 
, j¢(x) < 0 для всех x ³ 0 и |j¢(x)| = |
| £ 0.1< 1. Значит, q = 0.1. В качестве нулевого приближения выберем x0 = 0.
Используя программу Interp(f, x0,eps), написанную с использованием пакета MathCAD 2000, нашли корень уравнения:
где f – исходная функция,
x0 – начальное приближение,
eps – погрешность.
Результат – вектор, по которому можно определить количество итераций, необходимых для определения приближённого значения с заданной точностью.
3.3. К лабораторной работе №4. Ускоренные методы решения нелинейных уравнений.
3.4. К лабораторной работе №5. Решение систем нелинейных уравнений.
3.5. К лабораторной работе №6. Методы аппроксимации и интерполяции.
Моделирование сплайн-интерполяции.
Для исследования сплайн-интерполяции составим программу, вычисляющую сплайн-коэффициенты по граничному условию А.
Функция Spline реализует алгоритм вычисления сплайн-коэффициентов с учётом граничного условия А. Результатом вычисления является матрица размерностью n*4 в строках которой записаны коэффициенты a, b, c, d для каждой из n сплайн функции. Входные параметры - векторы x, y - исходные опорные точки.
Функция Function(x) вычисляет для заданного x значения сплайна.
Пример.
Вычислить значения заданной функции f(x) = sin(x) в 20 узлах интерполяции на отрезке [0,2p]. Построить интерполяционный кубический сплайн и вычислить его значения. Построить графики и сравнить результаты.
как видим, значения функции и сплайна одинаковы, значит сплайн-аппроксимация имеет очень хорошие результаты.
3.6. К лабораторной работе №7. Решение задачи минимизации функции n переменных.
Минимизация функции с помощью метода градиентного спуска.
Minim (f, xy, grad, k, h, eps), где
f – исходная функция,
xy – вектор с координатами x и y,
grad – подпрограмма, вычисляющая координаты градиента,
k – число итераций,
h – шаг,
eps – погрешность.
Пример.
Минимизировать функцию 
.
В качестве приближения х(0) выберем точку (0, 0) и положим e = 0.0001. Программа имеет вид:
Как видно из вычислений, алгоритм успешно сработал и значения, полученные с помощью программы Minim и стандартной функции минимизации сходятся вплоть до 4-го десятичного знака.
3.7. К лабораторной работе №8. Приближённое решение задачи Коши.
Решение задачи Коши методом Эйлера.
Пример. Решить задачу Коши
методом Эйлера с шагом h = 0.1 на отрезке [0; 3].
где a, b – границы отрезка,
y – начальные значения y1, y2,
h – шаг по x,
n – размерность системы.
Результат (таблица): Результат (график):
Рис. 3.4. Рис. 3.5.
|
Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 |
Основные порталы (построено редакторами)