Норма этой матрицы мажорирует соответствующие нормы матрицы производных. Поэтому достаточным условием сходимости является условие 
.
Для различных норм матрицы это условие принимает разные формы:
.
Поскольку в конечномерном пространстве все нормы матриц эквивалентны, из сходимости итераций в одной норме следует сходимость во всех остальных.
Нулевое приближение в случае n = 2 можно выбрать графически, изобразив в плоскости (x1, x2) кривые 
и 
и определив приближённо точки их пересечения.
Итерации можно заканчивать, когда
.
За приближённое значение решения принимаем 
.
Если нарушается условие монотонного убывания величины
,
то можно считать условие сходимости нарушенным [10].
2.5.2. Метод Ньютона.
Рассмотрим систему n нелинейных уравнений с n неизвестными
или в векторной форме
f(x) = 0,
здесь 
.
Основная идея метода Ньютона состоит в выделении из уравнений системы линейных частей, которые являются главными при малых приращениях аргументов. Это позволяет свести исходную задачу к решению последовательности линейных систем [10].
Пусть известно некоторое приближение x(k) корня x*. Тогда поправку 
можно найти, решая систему
.
Для определения 
разложим векторную функцию 
в ряд по . Сохранив только линейные по части, получим
.
Здесь через 
обозначена матрица производных 
.
Если 
, то 
, где 
- матрица, обратная матрице производных.
Таким образом, последовательные приближения корня можно вычислять по формуле
.
Отсюда видно, что метод Ньютона решения системы состоит в построении итерационной последовательности:
.
Если , то в достаточно малой окрестности корня x* итерационный процесс сходится, причём с квадратичной скоростью, т. е. если 
, то 
. Поэтому в качестве критерия окончания итерационного процесса можно использовать условие 
. Если начальное приближение выбрано удачно, то метод Ньютона сходится очень быстро.
2.5.3. Метод наискорейшего спуска.
Общий недостаток всех рассмотренных выше методов решения систем нелинейных уравнений – это сугубо локальный характер сходимости, затрудняющий их применение в случаях, когда имеются проблемы с выбором хороших начальных приближений. Чтобы решить такую задачу, нужно поставить задачу нахождения решений данной нелинейной системы как оптимизационную или, иначе, экстремальную задачу [1].
Из функций f и g системы 
образуем новую функцию
. (2.22)
Так как эта функция неотрицательна, то найдётся точка (и не единственная) 
такая, что
,
т. е. 
. Следовательно, если тем или иным способом удаётся получить точку 
, минимизирующую функцию 
, и если при этом окажется, что 
, то - искомое решение системы , поскольку
.
Последовательность точек 
- приближёний к точке 
минимума 
- обычно получают по рекуррентной формуле
(2.23)
где 
- вектор, определяющий направление минимизации, а 
- скалярная величина, характеризующая величину шага минимизации (шаговый множитель). Учитывая геометрический смысл задачи минимизации функции двух переменных - «спуск на дно» поверхности z = (см. лаб. раб. №7), итерационный метод (2.23) можно назвать методом спуска, если вектор при каждом k является направлением спуска (т. е. существует такое α > 0, что 
) и если множитель 
подбирается так, чтобы выполнялось условие релаксации 
, означающее переход на каждой итерации в точку с меньшим значением минимизируемой функции.
Итак, при построении численного метода вида (2.23) минимизации функции следует ответить на два главных вопроса: как выбирать направление спуска и как регулировать длину шага в выбранном направлении с помощью скалярного параметра – шагового множителя .
При выборе направления спуска естественным является выбор такого направления, в котором минимизируемая функция убывает наиболее быстро. Как известно из математического анализа функции нескольких переменных, направление наибольшего возрастания функции в данной точке показывает её градиент в этой точке. Поэтому примем за направление спуска вектор
- антиградиент функции . Таким образом, из семейства методов (2.23) выделяем градиентный метод
. (2.24)
Оптимальный шаг в направлении антиградиента – это такой шаг, при котором значение 
- наименьшее среди всех других значений в этом фиксированном направлении, т. е. когда точка 
является точкой условного минимума. Следовательно, можно рассчитывать на наиболее быструю сходимость метода (2.24), если полагать в нём
. (2.25)
Такой выбор шагового множителя, называемый исчерпывающим спуском, вместе с формулой (2.24) определяет метод наискорейшего спуска [1].
Задание.
Найти решение системы 
.
Порядок выполнения работы.
1. Найти нулевое приближение решения.
2. Составить программы решения системы уравнений различными методами.
3. Провести вычисления.
Таблица 2.5
Варианты заданий.
|
Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 |
Основные порталы (построено редакторами)