Если минимизируемая функция имеет «овражные» особенности, то описанный алгоритм неэффективен, так как не реагирует на «топографические» особенности исследуемой функции. Нелдер и Мид усовершенствовали рассматриваемый алгоритм. Основная идея усовершенствования состоит в деформации треугольника в зависимости от особенностей функции. Те стороны треугольника, которые ориентированы преимущественно вдоль «оврага», растягиваются, а те, которые ориентированы «поперек», - сжимаются. Это позволяет повысить быстродействие алгоритма [10].

Задание.

Найти методом Нелдера-Мида экстремум заданной функции.

Порядок выполнения лабораторной работы.

1. Составить подпрограмму-функцию для вычисления значений целевой функции.

2. Составить программу-функцию для нахождения экстремума целевой функции методом Нелдера-Мида.

3. Провести вычисления.

Таблица 2.10

Варианты заданий.

Вариант	Целевая функция	Вариант	Целевая функция
1	min	16	min
2	max	17	min
3	min	18	min
4	min	19	min
5	min	20	max
6	min	21	min
7	min	22	min
8	min	23	min
9	min	24	max
10	min	25	min
11	min	26	min
12	min	27	min
13	min	28	min
14	min	29	min
15	min	30	max

2.8. Лабораторная работа №8.

Приближённое решение задачи Коши.

2.8.1. Метод Эйлера.

Пусть требуется найти приближенное решение дифференциального уравнения y'=f(x, у), удовлетворяющее начальному условию у(х0)=у0. Численное решение задачи состоит в построении таблицы приближенных значений у1, у2,…,yn решения уравнения у(х) в точках x1, x2,..., xn. Чаще всего хi = x0+ih, i=1, 2,..., п. Точки xi называются узлами сетки, а величина h—шагом (h>0).

НЕ нашли? Не то? Что вы ищете?

В методе Эйлера величины уi вычисляются по формуле

(2.62)

Этот метод относится к группе одношаговых методов, в которых для расчета точки (xi+1; .yi+1) требуется информация только о последней вычисленной точке (xi; yi). Метод допускает простую геометрическую интерпретацию (рис. 15). Предположим, что известна точка (хi; yi) на искомой интегральной кривой. Тогда касательная к этой кривой, проходящая через точку (хi; yi), определяется уравнением y=y'i(x - xi)+yi, а так как y'i =f(хi, yi) и xi+1=xi+h, то yi+1=yi+hf(xi, yi). Для оценки погрешности метода на одном шаге сетки разложим точное решение в ряд Тейлора в окрестности узла хi

Рис. 2.10

(2.63)

Сравнение формулы (2.62) с разложением (2.63) показывает, что они согласуются до членов первого порядка по h, а погрешность формулы (2.62) равна 0(h2). Если расчетные формулы численного метода согласуются с разложением в ряд Тейлора до членов порядка hp, то число р называют порядком метода. Таким образом, метод Эйлера—метод первого порядка [10].

Для практической оценки погрешности расчета можно рекомендовать правило Рунге. Для этого проведем вычисления с шагом h и h/2 и сравним величины уi(h) и уi(h/2). За оценку погрешности вычислений с шагом h/2 можно принять величину

Метод Эйлера легко обобщается на случай нормальных систем дифференциальных уравнений. Пусть требуется найти решение системы дифференциальных уравнений

удовлетворяющее начальным условиям y1(x0)= y10, y2(x0)= y20,…, yn(x0)= yn0. Или в векторной форме:

Y(x)={y1(x), y2(х),...,yn(x)}, Y0={y10, y20,…, yn0}. Приближенные значения уki точного решения yk(хi) в точках xi вычисляются по формулам

Задание:

Используя подпрограмму Eiler, составить программу решения задачи Коши yi¢=fi(x, y1, y2), yi|x=a = yi(a), i = 1, 2, на отрезке [a, b].

Порядок выполнения лабораторной работы.

1. Составить подпрограмму вычисления правых частей уравнений системы (используя пример).

2. Произвести вычисления для заданного варианта.

2.8.2. Метод Рунге-Кутта.

Пусть требуется найти решение дифференциального уравнения y¢=f(x, y), удовлетворяющее начальному условию y(x0) = y0.

Численное решение задачи состоит в построении таблицы приближённых значений у1, у2,…,yn решения уравнения в точках x1, x2,..., xn. Точки x1, x2,..., xn – узлы сетки. Используем систему равноотстоящих узлов. Величина h – шаг сетки (h>0) [10].

Методом Рунге—Кутта в литературе обычно называют одношаговый метод четвертого порядка, относящийся к широкому классу методов типа Рунге—Кутта. В этом методе величины yi+1 вычисляют по следующим формулам:

(2.64)

Погрешность метода на одном шаге сетки равна Mh4, но на практике оценить величину М обычно трудно. При оценке погрешности используют правило Рунге. Для этого проводят вычисления сначала с шагом h, а затем—с шагом h/2. Если уi(h) – приближение, вычисленное с шагом h, а у2i(h/2) – c шагом h/2, то справедлива оценка

За оценку погрешности вычислений с шагом h/2 можно принять величину

Метод Рунге—Кутта легко переносится на нормальные системы дифференциальных уравнений вида

, 1 £ k £ n,

которые для краткости удобно записывать в векторной форме:

y'(x)=f(x,y),

y = (y1, y2,…, yn), f = (fl, f2,…,fn).

Для получения расчетных формул методом Рунге—Кутта достаточно в формулах (2.64) заменить у и f(x, у) соответственно на у и f(x, у), а коэффициенты kj – на kj(j=l, 2, 3, 4).