Обзор возможностей математических пакетов MathCAD 2000, MathLAB 5.0, Mathematica (стр. 5 )

Чтобы символьные операции выполнялись, процессору необходимо указать, над каким выражением эти операции должны производиться, т. е. надо выделить выражение. Для ряда операций следует не только указать выражение, к которому они относятся, но и наметить переменную, относительно которой выполняется та или иная символьная операция. Само выражение в таком случае не выделяется, ведь и так ясно, что если маркер ввода выделяет переменную какого-либо выражения, то это выражение уже отмечено наличием в нем выделяемой переменной [3-4].

Задание к лабораторной работе №1.

1. Построить график функции на заданном интервале.

2. Вычислить значения функции на том же интервале с шагом 0,5.

3. Вычислить определённый интеграл на интервале.

4. Используя символьный процессор пакета MathCAD, продифференцировать данную функцию.

Таблица 2.1.

Варианты заданий.

№ вар	Функция f(x).	Интервал	№ вар	Функция f(x).	Интервал
1		[-3,6]	11		[-4,2]
2		[-4,5]	12		[0, 4]
3		[-2π, 2π]	13		[-π, π]
4		[-π, 2π]	14		[-5,0]
5		[-3,4]	15		[-2,4]
6		[-π, π]	16		[-2π, π]
7		[0,6]	17		[3,8]
8		[-3,3]	18		[0,5]
9		[-2.5,3.5]	19		[-π/2,2π]
10		[-3,1]	20		[0, 2π]

2.2. Лабораторная работа №2.

Анализ точности вычислительных процессов.

2.2.1. Общая формула для оценки главной части погрешности.

При численном решении математических и прикладных задач почти неизбежно появление на том или ином этапе их решения погрешностей следующих трех типов [1].

НЕ нашли? Не то? Что вы ищете?

а) Погрешность задачи. Она связана с приближенным характером исходной содержательной модели (в частности, с невозможностью учесть все факторы в процессе изучения моделируемого явления), а также ее математического описания, параметрами которого служат обычно приближенные числа (например, из-за принципиальной невозможности выполнения абсолютно точных измерений). Для вычислителя погрешность задачи следует считать неустранимой (безусловной), хотя постановщик задачи иногда может ее изменить.

б) Погрешность метода. Это погрешность, связанная со способом решения поставленной математической задачи и появляющаяся в результате подмены исходной математической модели другой или конечной последовательностью других, например, линейных моделей. При создании численных методов закладывается возможность отслеживания таких погрешностей и доведения их до сколь угодно малого уровня. Отсюда естественно отношение к погрешности метода как к устранимой (или условной).

в) Погрешность округлений (погрешность действий). Этот тип погрешностей обусловлен необходимостью выполнять арифметические операции над числами, усеченными до количества разрядов, зависящего от применяемой вычислительной техники (если, разумеется, не используются специальные программные средства, реализующие, например, арифметику рациональных чисел).

Все три описанных типа погрешностей в сумме дают полную погрешность результата решения задачи. Поскольку первый тип погрешностей не находится в пределах компетенции вычислителя, для него он служит лишь ориентиром точности, с которой следует рассчитывать математическую модель. Нет смысла решать задачу существенно точнее, чем это диктуется неопределенностью исходных данных. Таким образом, погрешность метода подчиняют погрешности задачи. Наконец, при выводе оценок погрешностей численных методов обычно исходят из предположения, что все операции над числами выполняются точно. Это означает, что погрешность округлений не должна существенно отражаться на результатах реализации методов, т. е. должна подчиняться погрешности метода. Влияние погрешностей округлений не следует упускать из виду ни на стадии отбора и алгоритмизации численных методов, ни при выборе вычислительных и программных средств, ни при выполнении отдельных действий и вычислении значений функций [1].

Пусть А и а - два "близких" числа; условимся считать А точным, а — приближенным.

Величина называется абсолютной погрешностью приближенного числа а, а его относительной погрешностью.

Числа Δa и δа такие, что Δa > Δа и δа = a, называются оценками или границами абсолютной и относительной погрешностей соответственно (к Δa и δа часто применяют также термин "предельные погрешности"). Так как обычно истинные погрешности не известны, то там, где не может возникнуть недоразумений, будем иногда называть Δa и δа просто абсолютной и относительной погрешностями [1].

Поставим вопрос о грубом оценивании погрешности результата вычисления значения дифференцируемой функции приближенных аргументов , если известны границы их абсолютных погрешностей соответственно. В этом случае точные значения аргументов лежат соответственно на отрезках

, а точная абсолютная погрешность результата есть

- модуль полного приращения функции. Главной, т. е. линейной частью этого приращения является, как известно, полный дифференциал du . Таким образом, имеем:

, (2.1)

т. е. за границу абсолютной погрешности результата приближенно может быть принята величина

(2.2)

Отсюда легко получается формула приближенной оценки относительной погрешности значения u:

(2.3)

Как частные случаи формул (2.2), (2.3) (точных для функций, линейных относительно xi, или lnxi соответственно) можно получить известные правила оценивания погрешностей результатов арифметических действий [1].

Действительно, пусть . Тогда и , т. е. при сложении и вычитании приближённых чисел их предельные погрешности складываются.