Таблица 2.2.
Варианты заданий.
№ вар. | Вид ф-ии Z=f(x,y) | Знач X | Знач у | k | № вар. | Вид ф-ии Z=f(x,y) | Знач x | Знач у | k |
1 |
| 2,15 | 3,52 | 2 | 11 |
| 3,28 | 1,56 | 3 |
2 |
| 6,41 | 3,83 | 3 | 12 |
| 2,62 | 3,58 | 4 |
3 |
| 2,65 | 3,22 | 3 | 13 |
| 1,63 | 2,56 | 2 |
4 |
| 1,23 | 2,31 | 2 | 14 |
| 0,63 | 1,48 | 4 |
5 |
| 1,56 | 2,32 | 4 | 15 |
| 2,65 | 3,49 | 2 |
6 |
| 2,31 | 3,73 | 3 | 16 |
| 1,53 | 2,47 | 3 |
Продолжение табл. 2.2. | |||||||||
№ вар. | Вид ф-ии Z=f(x,y) | Знач X | Знач у | k | № вар. | Вид ф-ии Z=f(x,y) | Знач x | Знач у | k |
7 |
| 2,65 | 3,23 | 4 | 17 |
| 3,25 | 4,13 | 2 |
8 |
| 3,81 | 2,23 | 2 | 18 |
| 2,23 | 3,12 | 3 |
9 |
| 5,63 | 3,38 | 3 | 19 |
| 2,12 | 3,15 | 4 |
10 |
| 2,37 | 3,28 | 4 | 20 |
| 3,12 | 2,29 | 3 |
2.3. Лабораторная работа № 3.
Методы решения алгебраических и трансцендентных уравнений.
2.3.1. Приближённое решение уравнения f(x) = 0 методом деления пополам (методом бисекций).
Пусть задана непрерывная функция f(x) и требуется найти корень уравнения f(x) = 0. Предположим, что найден отрезок [a, b], такой, что f(a)f(b)<0. Тогда согласно теореме Больцано-Коши внутри отрезка [a, b] существует точка c, в которой значение функции равно нулю, т. е. f(с) = 0, сÎ(a, b). Итерационный метод бисекций состоит в построении последовательности вложенных отрезков.{[an, bn]| [an, bn]Ì [an-1,bn-1]Ì [a, b]}, на концах которых функция принимает значения разных знаков. Каждый последующий отрезок получают делением пополам предыдущего. Процесс построения последовательности отрезков позволяет найти нуль функции f(x) (корень уравнения f(x) = 0) с любой заданной точностью [10].
Опишем один шаг итераций. Пусть на (n-1)-м шаге найден отрезок [an-1,bn-1]Ì[a, b], такой, что f(an-1)f(bn-1) < 0. Делим его пополам точкой x = (an-1 + bn-1)/2 и вычисляем f(x). Если f(x) = 0, то x = (an-1 + bn-1)/2 – корень уравнения. Если f(x) ¹ 0, то из двух половин отрезка выбираем ту, на концах которой функция имеет противоположные знаки, так как один из корней лежит на этой половине. Таким образом,
an = an-1, bn = x, если f(x)f(an-1) < 0,
an = x, bn = bn-1, если f(x)f(an-1) > 0.
Если требуется найти корень с точностью до e, то деление пополам продолжается до тех пор, пока длина отрезка не станет меньше 2e. Тогда координата середины отрезка и есть значение корня с требуемой точностью e.
Метод бисекций – простой и надежный метод поиска простого корня (корень x = c называют простым корнем дифференцируемой функции f(x), если f(c) = 0 и f¢(c) ¹ 0) уравнения f(x) = 0. Он сходится для любых непрерывных функций f(x), в том числе и недифференцируемых. Скорость сходимости невелика. Для достижения точности e необходимо совершить N итераций, где N » log2((b-a)/e).
Это означает, что для получения каждых трёх верных десятичных знаков необходимо совершить около 10 итераций.
Если на отрезке [a, b] находится несколько корней уравнения f(x) = 0, то процесс сходится к одному из них. Метод неприменим для отыскания кратных корней чётного порядка. В случае корней нечётного порядка он менее точен [10].
Используя данный алгоритм легко написать функцию Bisect (f, a, b, eps, k) вычисления корня уравнения f(x) = 0, используя пакет MathCAD 2000.
f – искомая функция,
a, b – начало и конец интервала [a, b] соответственно,
eps – погрешность,
k – количество итераций.
Порядок выполнения лабораторной работы с помощью метода бисекций.
1. Графически или аналитически отделить корень уравнения f(x) = 0 (т. е. найти отрезок [a, b], на котором функция f(x) удовлетворяет условиям теоремы Больцано-Коши).
2. Написать функцию вычисления корня уравнения f(x) = 0, найти корень уравнения.
2.3.2. Метод простых итераций.
Метод простых итераций (метод последовательных приближений) решения уравнения f(x) = 0 состоит в замене исходного уравнения эквивалентным ему уравнением x = j(x) и построении последовательности xn+1 = j(xn), сходящейся при n®¥ к точному решению. Сформулируем достаточные условия сходимости метода простых итераций [10].
Теорема. Пусть функция j(x) определена и дифференцируема на [a, b], причём все её значения j(x)Î[a, b]. Тогда, если существует число q, такое, что |j¢(x)| £ q < 1 на отрезке [a, b], то последовательность xn+1 = j(xn), n = 0, 1, 2, …, сходится к единственному на [a, b] решению уравнения x = j(x) при любом начальном значении x0Î [a, b], т. е.
, 
, xÎ [a, b].
При этом, если на отрезке [a, b] производная j¢(x) положительна, то
,
если j¢(x) отрицательна, то
Опишем один шаг итераций. Исходя из найденного на предыдущем шаге значения xn-1, вычисляем y = j(xn-1). Если |y – xn-1| > e, полагают xn = y и выполняют очередную итерацию. Если же |y – xn-1| < e, то вычисления заканчивают и за приближённое значение корня принимают величину xn = y. Погрешность полученного результата зависит от знака производной j¢(x). При j¢(x) > 0 корень найден с погрешностью 
, если j¢(x) < 0, то погрешность не превышает e [10].
а) б)
Рис. 2.3.
Метод допускает простую геометрическую интерпретацию. Построим графики функций y = x и y = j(x). Корнем x уравнения x = j(x) является абсцисса точки пересечения кривой y = j(x) с прямой y = x (рис. 2.3). Взяв в качестве начальной произвольную точку x0Î[a, b], строим ломаную линию (рис. 2.3, а, б). Абсциссы вершин этой ломаной представляют собой последовательные приближения корня x. Из рисунков видно, что если j¢(x) < 0 на отрезке [a, b], то последовательные приближения xn = j(xn-1) колеблются около корня x, если же производная положительна, то последовательные приближения сходятся к корню монотонно.
|
Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 |
Основные порталы (построено редакторами)