При использовании метода простых итераций основным моментом является выбор функции j(x) в уравнении y = j(x), эквивалентном исходному. Два метода итераций следует подбирать функцию j(x) так, чтобы |j¢(x)|£q<1. При этом следует помнить, что скорость сходимости последовательности {xn} к корню x тем выше, чем меньше число q [10].

Порядок выполнения лабораторной работы с помощью метода простых итераций.

Графически или аналитически отделить корень уравнения f(x) = 0.

1. Преобразовать уравнение f(x) = 0 к виду x = j(x) так, чтобы в некоторой окрестности [a, b] корня x производная j¢(x) удовлетворяла условию |j¢(x)|£q<1. При этом следует помнить, что чем меньше q, тем быстрее последовательные приближения сходятся к корню.

2. Выбрать начальное приближение, лежащее на отрезке [a, b].

3. Используя пакет MathCAD, написать функцию для нахождения корня уравнения.

4. Провести вычисления для заданной функции.

2.3.3. Приближённое решение уравнения методом Ньютона.

Если известно хорошее начальное приближение решения уравнения f(x) = 0, то эффективным методом повышения точности является метод Ньютона (метод касательных). Метод состоит в построении итерационной последовательности xn+1 = xn – f(xn)/f¢(xn), сходящейся к корню уравнения f(x) = 0. Сформулируем достаточные условия сходимости метода [10].

Теорема. Пусть f(x) определена и дважды дифференцируема на [a, b], причём f(a)f(b)<0, а производные f¢(x), f²(x) сохраняют знак на отрезке [a, b]. Тогда, исходя из начального приближения x0Î[a, b], удовлетворяющего неравенству f¢(x0)f²(x0)>0, можно построить последовательность

НЕ нашли? Не то? Что вы ищете?

, n = 0,1,2,…,

сходящуюся к единственному на [a, b] решению x уравнения f(x) = 0.

Метод Ньютона допускает простую геометрическую интерпретацию. Если через точку с координатами (xn;f(xn)) (рис. 2.4) провести касательную, то абсцисса точки пересечения этой касательной с осью Ox и есть очередное приближение xn+1 корня уравнения f(x) = 0.

Для оценки погрешности n-го приближения корня можно воспользоваться неравенством

где M2 – наибольшее значение модуля второй производной |f²(x)| на отрезке [a, b]; m1 –наименьшее значение модуля первой производной |f¢(x)| на отрезке [a, b]. Таким образом, если |xn – xn-1|<e, то |x - xn|£M2e2/(2m1). Последнее соотношение означает, что при хорошем начальном приближении корня после каждой итерации число верных десятичных знаков в очередном приближении удваивается, т. е. процесс сходится очень быстро. Значит, если необходимо найти корень с точностью e, то итерационный процесс можно прекратить, когда

Опишем один шаг итераций. Если на (n – 1)-м шаге очередное приближение xn-1 не удовлетворяет условию окончанию процесса, то вычисляем величины f(xn-1), f¢(xn-1) и следующее приближение корня xn = xn-1 – f(xn-1)/f¢(xn-1). При выполнении условия

величину xn принимаем за приближённое значение корня x, вычисленное с точностью e [10].

Метод Ньютона эффективен, если известно хорошее начальное приближение для корня и в окрестности корня график функции имеет большую крутизну. В этом случае процесс быстро сходится [10].

Порядок выполнения лабораторной работы с помощью метода Ньютона

1. Графически или аналитически отделить корень уравнения f(x) = 0. Убедиться, что на найденном отрезке [a, b] функция f(x) удовлетворяет условиям сходимости метода Ньютона.

2. Выбрать начальное приближение корня x0Î[a, b] так, чтобы f¢(x0)f²(x0)>0.

3. Оценить снизу величину , оценить сверху величину .

4. По заданному e0 выбрать значение e для условия окончания итерационного процесса .

5. Составить программу вычисления корня уравнения по методу Ньютона, используя пакет MathCAD.

6. Произвести вычисления по программе.

Таблица 2.3.

Варианты заданий к лабораторной работе.

№ варианта	f(x)	№ варианта	f(x)
1		16
2		17
3		18
4		19
5		20
6		21
7		22
8		23
9		24
10		25
11		26
12		27
13		28
14		29
15		30

2.4. Лабораторная работа № 4.

Ускоренные методы решения нелинейных уравнений.

Для того чтобы ускорить процесс сходимости метода простых итераций (МПИ) для решения нелинейных уравнений применяют последовательности, получаемые с помощью несложных арифметических манипуляций над несколькими членами последовательности , k = 0,1,2,…. Где - функция, связанная с f(x) таким образом, что последовательность сходится к единственному корню уравнения f(x) [1].

Для всех таких методов характерны многошаговость, экономичность (поскольку более быстрая сходимость по сравнению с базовой достигается без дополнительного вычисления значений функций), а также сложность исследования условий и скорости сходимости. Отсюда – отсутствие эффективных априорных оценок погрешностей. Возможны ситуации, когда новый метод окажется сходящимся, в то время как базовый для него МПИ расходится.

Рассмотрим два таких метода ускорения сходимости последовательности . Наличие неподвижной точки ξ и дифференцируемость функции φ(x) далее всюду предполагается [1].

2.4.1. Метод Эйткена (Δ2 – процесс Эйткена).

Пусть - последовательность, получаемая по формуле