№ вар. | Система уравнений | № вар. | Система уравнений |
1 |
| 16 |
|
2 |
| 17 |
|
3 |
| 18 |
|
4 |
| 19 |
|
5 |
| 20 |
|
6 |
| 21 |
|
Продолжение табл. 2.5 | |||
№ вар. | Система уравнений | № вар. | Система уравнений |
7 |
| 22 |
|
8 |
| 23 |
|
9 |
| 24 |
|
10 |
| 25 |
|
11 |
| 26 |
|
12 |
| 27 |
|
13 |
| 28 |
|
14 |
| 29 |
|
15 |
| 30 |
|
2.6. Лабораторная работа № 6.
Методы аппроксимации и интерполяции функций.
2.6.1. Аппроксимация с помощью кубического сплайна.
Специальным видом кусочной интерполяции является интерполяция с помощью сплайн-функции. Образованные в процессе такой интерполяции кривые обладают достаточным приближением и образуют кусочно-кубический полином. Сплайн-интерполяция по сравнению с другими методами интерполяции обеспечивает наилучшее приближение. Ниже исследуется сплайн-интерполяция с помощью кубических полиномов [10].
Пусть имеется некоторая кривая f(x), а для неё известен набор опорных точек xi, yi (i=0..n), где n - количество интервалов между ними. На каждом интервале исходная функция аппроксимируется кубическим полиномом (сплайном)
(2.26)
Для n интервалов необходимо найти 4*n неизвестных, поскольку для каждого интерполирующего сплайна Sj вычисляются значения коэффициентов ai, bi, ci, di.
Любой сплайн должен удовлетворять четырем условиям:
1. В каждой нижней границе интервала сплайн проходит через опорную точку.
(2.27)
2. В каждой верхней границе интервала сплайн проходит через опорную точку.
(2.28)
Ширина интервала 
3. Для каждой нижней граничной точки интервала сплайн имеет одинаковую крутизну в обоих граничащих интервалах.
(2.29)
4. Для каждой верхней граничной точки интервала сплайн имеет одинаковую крутизну в обоих граничащих интервалах.
(2.30)
Для вычисления коэффициентов n интерполирующих сплайнов требуется ещё два условия. Эти условия назовём граничными и выберем произвольно:
а). через обе граничные точки кривая должна проходить с нулевой кривизной, превращаясь в прямую.
б) крутизна любого интерполирующего сплайна в обеих граничных точках фиксирована.
Вывод коэффициентов.
Вычислим 4*n коэффициентов с помощью заданных опорных точек. Проще всего определить коэффициенты а из первого условия.
Подставляя в (2.27) x = xi, получаем
di = yi, i = 0,1,…,n-1 (2.35)
Из второго условия подставляем уравнение (2.28) и x = xi + hi в (2.26) с учётом (2.35) получаем
Согласно третьему условию:
Подставляя в выражение (2.37) уравнение (2.29) имеем:
Для удовлетворения четвёртого условия вычислим вторую производную интерполирующего сплайна:
Подставляя в это выражение уравнение (2.30), получаем:
Посредством исключения коэффициентов а и с из уравнений (2.38), (2.36) и (2.40) вместе с граничными условиями (2.31), (2.32) или (2.33), (2.34) получаем систему линейных уравнений для всех b. Теперь решим (2.40) относительно
Подставив (2.41) в (2.36):
Это уравнение в свою очередь решим относительно
Для первого члена в правой части (2.43) в дальнейшем будем пользоваться сокращением
Опорные точки должны быть сопоставимы с непрерывной функцией, т. е. функция не должна иметь скачков, поскольку из-за hi=0 значение ei стремилось бы к бесконечности.
Чтобы исключить коэффициенты ai, ci подставим в уравнения (2.41) и (2.43) в уравнение (2.38) и после преобразования запишем:
Оставшиеся два уравнения, необходимые для вычисления всех коэффициентов bi получаем с помощью граничных условий. Таким образом задаются две системы уравнений.
Граничное условие А.
Подставляя уравнение (2.31) при i = 0 и x = xi в уравнение (2.39), получаем
b1 = 0 (2.46)
Для упрощённого расчёта граничного условия (2.32) допустим, что за опорной точкой xn существует другой интерполирующий сплайн, для которого условия (2.27), (2.29) и (2.30) выполняются. Согласно последнему условию
Подставляя это выражение при i = n и x = xn в уравнение (2.39) получаем
bn = 0 (2.47)
Аналогичным образом можно записать (2.45) и для i = n-1, т. е.:
Уравнения (2.41) и (2.44) представляют собой систему линейных уравнений, с помощью которой вычисляется n-1 сплайн-коэффициентов b1...bn-1. В матрице коэффициентов заполненными оказываются только главная диагональ и две соседние диагонали, а все остальные элементы равны 0. Такая система уравнений называется трёхдиагональной.
После решения системы уравнений, приведённой выше, предполагается, что все коэффициенты bi известны. С помощью уравнения (2.41) вычисляются все n ai, а с помощью (2.43) - все коэффициенты ci.
|
Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 |
Основные порталы (построено редакторами)