. (2.4)
Если же 
, то 
и, значит
. (2.5)
Последнее вместе с (2.4) означает известный результат о сложении предельных относительных погрешностей при умножении и делении приближенных чисел.
Возвращаясь к сложению, рассмотрим относительную погрешность суммы n положительных приближенных чисел 
, имеющих границы относительных погрешностей 
соответственно:
,
где 
. Полученное неравенство говорит о том, что относительная погрешность суммы n положительных приближённых чисел не превосходит максимальной относительной погрешности слагаемых [1].
С вычитанием приближённых чисел дело обстоит хуже: оценка
относительной погрешности разности x1 - х2 двух приближенных положительных чисел указывает на возможность сильного возрастания погрешности при x1 - х2 → 0. В этом случае говорят о потере точности при вычитании близких чисел.
2.2.2. Статистический и технический подходы к учёту погрешности действий.
Рассмотренный выше аналитический (или классический) способ учета погрешностей действий, предполагающий точное оценивание погрешностей, основанное либо на приведенных в предыдущем параграфе правилах подсчета погрешностей арифметических действий, либо на параллельной работе с верхними и нижними границами исходных данных, имеет два существенных недостатка. Во-первых, этот способ чрезвычайно громоздок и не может быть рекомендован при массовых вычислениях. Во-вторых, он учитывает крайние, наихудшие случаи взаимодействия погрешностей, которые допустимы, но маловероятны. Ясно, что, например, при суммировании нескольких приближенных чисел (полученных в результате измерений, округлений или каким-либо другим путем) среди них почти наверное будут слагаемые как с избытком, так и с недостатком, т. е. произойдёт частичная компенсация погрешностей. При больших количествах однотипных вычислений вступают в силу уже вероятностные или статистические законы формирования погрешностей результатов действий. Например, методами теории вероятностей показывается, что математическое ожидание абсолютной погрешности суммы n слагаемых с одинаковым уровнем абсолютных погрешностей, при достаточно большом n, пропорционально √n. В частности, если n>10 и все слагаемые округлены до m-го десятичного разряда, то для подсчета абсолютной погрешности суммы 5 применяют правило Чеботарева [1]
(2.6)
Различие в результатах классического и статистического подходов к оцениванию погрешности суммы рассмотрим на примере оценки погрешности среднего арифметического нескольких приближенных чисел.
Пусть 
- среднее арифметическое n (>10) приближенных чисел (например, результатов измерений), имеющих одинаковый уровень абсолютных погрешностей 
. Тогда классическая оценка абсолютной погрешности величины х есть
,
т. е. такая же, как и у исходных данных. В тоже время по формуле (2.6) имеем
.
Как видим, применение правила Чеботарева приводит к естественному выводу о том, что арифметическое усреднение результатов измерений или наблюдений увеличивает точность, чего нельзя сказать на основе классической теории погрешностей [1].
2.2.3. Графы вычислительных процессов.
Рассмотрим более удобный способ подсчёта распространения ошибки в каком-либо арифметическом вычислении [6].
С этой целью мы будем, изображать последовательность операций в вычислении с помощью так называемого графа и будем писать около стрелок графа коэффициенты, которые позволят нам сравнительно легко определить общую ошибку окончательного результата. Метод этот удобен еще и тем, что позволяет легко определить вклад любой ошибки, возникшей в процессе вычислений, в общую ошибку.
На рис. 2.1 изображен граф вычислительного процесса u = (х + у)*z. Граф следует читать снизу вверх, следуя стрелкам. Сначала выполняются операции, расположенные на каком-либо горизонтальном уровне, после этого — операции, расположенные на более высоком уровне, и т. д. Из рис. 2.1, например, ясно, что x и у сначала складываются, а потом умножаются на z. Граф, изображенный на рис. 2.1, является только изображением самого вычислительного процесса. Для подсчета общей ошибки результата необходимо дополнить этот граф коэффициентами, которые пишутся около стрелок согласно следующим правилам.
Рис. 2.1. Граф вычислительного процесса u = (х + у)*z.
Сложение
Пусть две стрелки, которые входят в кружок сложения, выходят из двух кружков с величинами a1 и а2. Эти величины могут быть как исходными, так и результатами предыдущих вычислений. Тогда стрелка, ведущая от a1 к знаку + в кружке, получает коэффициент a1/(a1 + a2) стрелка же, ведущая от a2 к знаку + в кружке, получает коэффициент a2/(a1 + a2).
Вычитание
Если выполняется операция al — a2, то соответствующие стрелки получают коэффициенты a1/(a1 - a2) a1/(a1 - a2).
Умножение
Обе стрелки, входящие в кружок умножения, получают коэффициент +1.
Деление
Если выполняется деление a1/a2, то стрелка от a1 к косой черте в кружке получает коэффициент +1, а стрелка от a2 к косой черте в кружке получает коэффициент -1.
Смысл всех этих коэффициентов следующий: относительная ошибка результата любой операции (кружка) входит в результат следующей операции, умножаясь на коэффициент у стрелки, соединяющей эти две операции [6].
В качестве примера можно рассмотреть рис. 2.2, который отличается от 2.1 только тем, что около стрелок расставлены соответствующие коэффициенты.
Предположим, что три исходные величины на рис. 2.1 имеют относительные ошибки округления, равные соответственно ix, iy и iz, и посмотрим, как применяется правило подсчета ошибки. Сначала рассмотрим сложение. Относительная ошибка величины х составляет ix; эта ошибка войдет в результат следующей операции (сложения) умноженной на коэффициент у стрелки, соединяющей х в кружке со знаком + в кружке: 
Рис. 2.2. Граф вычислительного процесса
В последнем выражении были опущены черточки над х и у; тем не менее подразумевается, что эти величины являются приближенными. Аналогично, относительная ошибка у, равная iy, войдет в результат операции сложения умноженной на коэффициент при стрелке, соединяющей у в кружке со знаком + в кружке.
Наконец, при выполнении операции сложения появляется ошибка округления, которую мы обозначим через r1. Таким образом, полная относительная ошибка результата сложения равна следующей сумме:
.
Теперь можно применить то же правило к умножению. Один из сомножителей есть сумма х и у, ошибку которой мы только что вычислили; эта ошибка, согласно изложенным выше правилам, войдет в результат умножения умноженной на +1. Относительная ошибка сомножителя z, равная iz, также войдет в результат умножения умноженной на +1. При выполнении операции умножения появляется ошибка округления, равная r2. Полная ошибка результата операции умножения выразится следующим образом:
Если все результаты соответствующим образом округлены (имеется в виду симметричное округление), то ни одна из ошибок округления не превзойдет 
. Поэтому
Если х и у оба неотрицательны, то сумма
не может быть больше 1, и окончательно мы имеем [6]
(2.7)
Задание.
Для заданных функций двух переменных требуется:
1) найти абсолютную и относительную погрешности функции Z, считая верными все знаки приближённых чисел x и y, применяя основную формулу теории погрешностей.
2) Построить граф вычислительного процесса и по нему произвести оценку степени влияния каждого из аргументов на выходную погрешность.
3) Считая, что функция Z задана с точностью до k десятичных знаков после запятой, найти допустимую погрешность приближённых величин x и y на основе принципа равных влияний.
|
Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 |
Основные порталы (построено редакторами)