Математические модели в аэрогидромеханике. Часть II (стр. 10 )

;

.

Последнее соотношение использует выражение для , которое получается из уравнения энергии (2.13) для критического режима, когда . В этом случае получим: или . Тогда и .

Окончательно . (2.18)

Здесь и далее параметры с индексом * – это критические параметры.

Далее, вводя вместо местных значений параметров критические, получим следующие соотношения:

Так как - из первого и второго изоэнтропических соотношений, то

. (2.19)

Так как – из первого и третьего изоэнтропических соотношений, то . (2.20)

Так как – из первого и четвёртого изоэнтропических соотношений, то . (2.21)

Из (2.18) видно, что , т. к. k>1 и, следовательно, , т. е. критическая скорость меньше скорости звука в неподвижной среде.

Составив изоэнтропические соотношения для каких-нибудь двух точек одного и того же потока с числами и или и , или для точек двух потоков, но с одинаковыми параметрами заторможенного газа, и разделив соответствующие соотношения почленно друг на друга, получим следующие уравнения:

; (2.22)

; (2.23)

; (2.24)

; (2.25)

. (2.26)

Выражения (2.22) - (2.26) являются изоэнтропийными соотношениями во второй форме.

2.2. Математическая модель движения газа по соплу Лаваля

Для решения задачи используется следующая система уравнений:

а) интеграл Бернулли уравнения движения, который при отсутствии массовых сил запишется как ;

б) уравнение расхода газа через сопло, которое для стационарного режима запишется в виде , где А – площадь поперечного сечения сопла;

в) уравнение адиабатического процесса .

Преобразуем исходную систему уравнений. Продифференцируем первое уравнение: ; ;

. (2.27)

Прологарифмируем и продифференцируем второе уравнение:

. (2.28)

Подставим уравнение (2.27) в (2.28): ; ; . И окончательно:

. (2.29)

Это уравнение носит имя Гюгонио.

Рассмотрим три случая движений, вытекающие из уравнения Гюгонио:

1.  Дозвуковая область движения, М<1; знак противоположен знаку . В этом случае для увеличения скорости движения газа требуется уменьшение площади поперечного сечения сопла А. Это конфузорное или суживающееся сопло.

2.  Сверхзвуковая область движения, М>1; знак одинаков со знаком . В этом случае для увеличения скорости движения газа требуется увеличение А. Это диффузорное или расширяющееся сопло.

3.  М=1, . В этом случае соответствующее сечение сопла будет критическим (минимальным).

С учетом вышесказанного сопло Лаваля выполняется из двух сопел: суживающегося, вплоть до критического сечения, а затем переходящего в расширяющееся. В таком сопле газ может разгоняться до высоких сверхзвуковых скоростей. Необходимо отметить, что полученные результаты справедливы только для стационарного движения. Для нестационарного течения газа можно даже в цилиндрическом канале получить сверхзвуковую скорость, – например, при выстреле из ружья или пушки с цилиндрическим стволом можно разогнать газ до чисел М, равных десяти. В условиях же стационарного течения разогнать газ до сверхзвуковых скоростей можно только в сопле Лаваля, состоящим из конфузорной и диффузорной частей (рис. 12).

Конфузорная частьà

ß Диффузорная часть

Рис. 12

Теперь получим параметрическую систему уравнений для определения характеристик течения идеального газа и профиля сопла Лаваля на основе изоэнтропийных соотношений.

Уравнение неразрывности запишем в виде: , где «*» относится к критическим параметрам в минимальном сечении сопла. Тогда: .

Так как М*=1, то

. (2.30)

Найдем с учётом изоэнтропийных соотношений (2.16) и (2.21) следующим образом:

. (2.31)

Найдем с учётом изоэнтропийных соотношений (2.14) и (2.18):

. (2.32)

Тогда, внося и в формулу (2.30), получим:

. (2.33)

Итак, имеем следующее уравнение для нахождения площади поперечного сечения сопла Лаваля:

. (2.34)

Аналогично предыдущим получим следующие изоэнтропийные соотношения:

для с учётом (2.15) и (2.20):

; (2.35)

для с учётом (2.9) и (2.19):

; (2.36)

для с учётом (2.17) и (2.18):

. (2.37)

Эта система, состоящая из уравнений (2.31), (2.32), (2.34)-(2.37), называется параметрической системой уравнений для определения профиля сопла Лаваля и параметров газа в любом сечении сопла. В качестве расчётного параметра принимается число М.

Зачастую вместо этих уравнений используют выражения с коэффициентом . Для этого в полученную систему уравнений вносят соотношения (2.11) и (2.12), связывающие числа М и , и получают:

;

;

;

.

Для профилирования сопла Лаваля используют метод расчёта. Из уравнения неразрывности: имеем . Обозначим . Задаваясь последовательно значениями М или , находят ряд отношений и строят график или . Далее по приведенным выражениям для ; ; находят значения параметров газа при его движении по соплу. Для удобства расчётов имеются специально разработанные газодинамические таблицы.