Математические модели в аэрогидромеханике. Часть II (стр. 9 )

Впервые эта формула была получена Лапласом и носит название лапласовой скорости звука , в отличие от ньютоновой скорости звука , выведенной Ньютоном из условия изотермического распространения звука. В самом деле, при изотермическом процессе при Т=const из уравнения Клапейрона следует: , тогда , откуда и, следовательно, .

Спор при жизни этих великих ученых так и не был разрешён, и лишь в дальнейшем проведенные точные эксперименты по измерению скорости распространения звука в различных телах подтвердили правильность формулы Лапласа, а, следовательно, и его утверждения, что процесс распространения звука в средах является адиабатическим, и для него .

2.1.  Изоэнтропийные соотношения для идеального газа

Интеграл Бернулли уравнения энергии для единицы массы газа:

, (2.3)

где h – энтальпия (или полное теплосодержание), П – потенциал массовых сил.

При пренебрежении массовыми силами (П=0) получим: . Записав выражение для нулевых условий, получим

.

Здесь индекс «0» соответствует скорости потока =0, т. е. скорости заторможенного потока.

Тогда . (2.4)

В этом случае уравнение (2.4) определяет энтальпию адиабатически заторможенного потока. Далее все параметры без индекса будем называть статическими параметрами, а параметры с индексом «0» - параметрами торможения или заторможенными параметрами.

Поскольку , , где - теплоёмкость при постоянном давлении, которую будем считать постоянной при движении газа, то с учётом (2.4):

.

Из этого соотношения можно найти температуру адиабатически заторможенного потока или температуру торможения:

. (2.5)

Преобразуем выражение следующим образом: . Используя далее соотношение Майера и выражение для отношения теплоёмкостей (– теплоёмкость при постоянном объёме), получим: .

Таким образом:

(2.6)

Подставляя выражение для СрТ в уравнение (2.5), получим:

Используя формулу для числа Маха , получим

. (2.7)

Подставив выражения (2.6) в уравнение (2.4), приходим к уравнению энергии для адиабатического процесса движения идеального сжимаемого газа при отсутствии массовых сил:

. (2.8)

Из уравнения (2.7) получим первое изоэнтропийное соотношение:

. (2.9)

Российский ученый использовал в своих вычислениях скоростной коэффициент , названный коэффициентом Чаплыгина: , где – критическая скорость потока, равная скорости звука, то есть . В этом случае число Маха M=1, и местная скорость звука становится равной критической. Такой режим течения газа, когда его скорость достигает скорости звука, называется критическим.

Определим в уравнении энергии (2.8) константу из условия критического режима движения газа, подставив в (2.8) вместо а и . Тогда получим:

.

Разделим обе части равенства на :

.

Умножим обе части равенства на . Тогда

.

Получим связь между скоростным коэффициентом и числом Маха М, легко разрешимую относительно и М.

Решим, например, это уравнение относительно :

; или

.

Тогда скоростной коэффициент Чаплыгина

. (2.10)

Обратное соотношение, т. е. выражение для числа Маха

. (2.11)

Если М=0, то и =0; если же , то .

Из соотношений для М и можно получить и другую связь между ними. Разделим обе части выражения (2.10) на , (2.11) – на М. Тогда получим:

и .

Поскольку эти выражения равны между собой, то очевидно, что

,

и окончательно получаем связь между М и в виде:

. (2.12)

Для получения второго изоэнтропийного соотношения используем уравнение энергии (2.8) в виде:

. (2.13)

Умножив обе части этого равенства на , получим:

. (2.14)

Здесь – скорость звука заторможенного потока (при ); а – местная скорость звука.

Формула (2.14) и является вторым изоэнтропийным соотношением.

Далее, учитывая первое изоэнтропийное соотношение (2.7) и уравнение адиабатического процесса в виде , получим:

. (2.15)

Это третье изоэнтропийное соотношение.

Учитывая первое изоэнтропийное соотношение (2.7) и уравнение адиабатического процесса в виде , получим:

. (2.16)

Это четвёртое изоэнтропийное соотношение.

Сравнивая (2.14) и (2.15), получим: , т. е. адиабату Пуассона.

Наконец, . (2.17)

Все полученные уравнения являются первой формой изоэнтропийных соотношений. Они выражают параметрическую связь между Т, Р, , при помощи параметра М.

Эта же первая форма изэнтропийных соотношений может быть получена в виде уравнений параметрической связи между Т, Р, и при помощи параметра , если учесть уравнение (2.12) в виде:

.

Тогда получим следующие соотношения:

;

;

;