Математические модели в аэрогидромеханике. Часть II (стр. 18 )

Уравнение Прандтля при помощи скоростного коэффициента Чаплыгина можно записать следующим образом:

l1l2=1, где ; , (3.26)

а так как , то уравнение Прандтля можно получить и в следующем виде:

. (3.27)

Отсюда . (3.28)

На этом соотношении можно построить аналог сверхзвуковой трубы. Если скорость набегающего потока на тело M1®¥, то

.

Следовательно, если создать аэрогазодинамическую трубу со скоростью M=0.4»120 м/с, то смоделируем сверхзвуковую трубу для исследования течения газа за прямым скачком уплотнения.

Теперь ответим на вопрос: какие параметры потока остаются постоянными при прохождении через прямой скачок уплотнения?

Из уравнения энергии:

, ,

где CpT1 – энтальпия набегающего потока; CpT2 - энтальпия после скачка уплотнения; h1,0 и h2,0 – полная энтальпия. Согласно закону сохранения энергии h1,0 = h2,0 = h0 или T1,0 = T2,0 = T0 (если Cp = const). Тогда а1,0=а2,0=а0; , и, следовательно, .

Итак, при прохождении через прямой скачок уплотнения энтальпия и температура адиабатически заторможенного потока сохраняют постоянную величину. Также сохраняют постоянную величину скорости звука, критические скорости до и после прямого скачка уплотнения. Кроме того, согласно формуле Клапейрона:

или .

3.5. Изменение характерных параметров газа

при прямом скачке уплотнения

За относительное изменение параметров при прямом скачке уплотнения принимается:

; ; .

Все эти величины легко находятся при использовании полученных интегралов для нашей задачи.

1.  Действительно, из закона сохранения полного импульса:

.

Из уравнения сохранения масс: , тогда и, следовательно, . (3.29)

Так как из формулы Прандтля u1u2=a*2, то .

Поскольку , то , и тогда

. (3.30)

Применяя формулы перехода от l1 к М1 и наоборот, т. е.

, ,

получим искомые соотношения:

а) ;

б) ; (3.31)

в) ; г) .

2. 

Применяя к этому уравнению уравнение неразрывности , получим: .

Тогда ; или (3.32)

3.  .

Из закона сохранения полной энтальпии получим:

и h1=CpT1.

Тогда . (3.33)

Умножим и разделим член перед скобкой уравнения (3.33) на kR, а член на u12; .

Тогда

, (3.34)

т. к. .

Если взять , то можно после преобразований написать это выражение через М1:

. (3.35)

Если взять выражение , то

. (3.36)

И наконец , т. е. температура T2 за скачком уплотнения всегда больше температуры Т1 до прямого скачка уплотнения (за счет необратимого превращения механической энергии в тепловую).

Тогда (3.37)

или . (3.38)

Как известно, при наличии необратимых потерь в адиабатической системе возрастает ее энтропия. Для определения этого возрастания воспользуемся следующей формулой:

. (3.39)

Применим это равенство к параметрам адиабатически и изоэнтропически заторможенного газа, что допустимо, т. к. изэнтропическое торможение не влияет на приращение энтропии.

Тогда получим

(3.40)

Но из формулы Клапейрона следует: r1,0/r2,0 = p1,0/p2,0 , (3.41)

тогда . (3.42)

Эта формула выражает асимптотический закон роста энтропии при прохождении газа через скачки большой интенсивности. При сравнительно малой интенсивности скачков уплотнения, т. е. при М, близком к 1, будет наблюдаться слабое изменение энтропии, т. е. около-звуковые явления можно с достаточной степенью приближения рассматривать как изоэнтропические.

3.6. Математическая модель косого скачка уплотнения

Элементарную теорию косого скачка уплотнения можно рассматривать на примере течения газового потока внутри тупого угла. При течении внутри тупого угла сверхзвукового потока газа со скоростью u1 создается косой скачок уплотнения, который образует с горизонталь­ной осью угол b (рис. 24). Надо отме­тить, что если при прямом скач­ке уплотнения согласно теореме Прандтля сверхзвуковое течение после скачка уплотнения непре­менно становится дозвуковым, то при прохождении потока через косой скачок уплотнения сверх­звуковая скорость может сохра­ниться и за скачком уплотнения.

Рис. 24

Разложим вектор скорости на две составляющие: нормальную u1n (перпендикулярную линии скачка уплотнения) и касательную u1t (параллельную ли­нии скачка уплотнения). При прохождении потока через косой скачок уплотнения вектор скорости потока имеет направление, параллель­ное ограничивающей поверхности. Разложим вектор скорости также на две составляющие: u2n и u2t (см. рис. 24).

При исследовании косого скачка уплотнения будем использовать сле­дующие интегральные соотношения:

1) уравнение неразрывности (закон сохранения массы), записанное для нормальных составляющих скоростей, полученных при косом скачке уплотнения:

; (3.43)

2) закон сохранения полного импульса в проекции на линию разры­ва (импульса, связанного с касательной скоростью, которая направлена по косому скачку уплотнения):

. (3.44)

То же в проекции на нормаль к линии разрыва (или теорема об изменении импульсов для нормальных составляющих скоростей):

; (3.45)

3) уравнение энергии (закон сохранения полной энтальпии):

. (3.46)

Из уравнения (3.43) с учетом (3.44) следует, что

. (3.47)

Это равенство указывает на то, что касательные составляющие скоростей до и после косого скачка уплотнения одинаковы. Иными словами, косой скачок уплотнения не вызывает изменения характера течения касательных скоростей до и после скачка уплотнения.

Тогда система уравнений (интегральных соотношений) будет иметь вид:

Видно, что полученная система уравнений для косого скачка уплотнения отличается от системы уравнений, характеризующих прямой скачок уплот­нения. Система уравнений для косого скачка уплотнения получается из системы уравнений для прямого скачка уплотнения заменой векторов ско­ростей и на их нормальные составляющие u1n и u2n. Следовательно, все, что было сказано относительно прямого скачка уп­лотнения, сохраняет свой смысл и для косого скачка уплотнения, если во всех соотношениях, полученных для прямого скачка уплотнения, заме­нить векторы скоростей и на их нормальные составляющие.