Математические модели в аэрогидромеханике. Часть II (стр. 6 )

Интегрируя, получим : .

Таким образом, .

Так как j(r, q)=R(r)×J(q), то j(r, q)=()().

Для нахождения констант используем граничное условие на поверхности обтекаемого профиля: при r=a à 0.

Найдем .

Поскольку =J(q)¹0,, то отсюда С3=0 и, следовательно, можно записать j(r, q)=()С4.

Отбрасывая константу С2×С4, что не меняет физического смысла задачи, получим j=Aq.

Тогда , а , откуда .

Для определения произвольной постоянной интегрирования А найдем циркуляцию Г, равную .

Отсюда , следовательно, ; . (1.27)

Определим теперь функцию y(r, q), используя условия Коши-Римана для полярных координат:

; (1.28)

, так как при обтекании контура профиля. Интегрируя уравнение (1.28) и опуская константу, имеем

. (1.29)

Тогда характеристическая функция с учетом выражений (1.27), (1.29):

.

Умножим и разделим это выражение на i: . В полярных координатах , тогда и

. (1.30)

Таким образом, при учете нулевого решения для характеристической функции W, то есть при циркуляционном обтекании кругового цилиндра идеальной жидкостью, имеем (складывая потенциалы):

. (1.31)

Как показывает формула (1.31), для кругового цилиндра циркуляционное обтекание получают наложением вихря с циркуляцией Г на бесциркуляционое обтекание.

Рассмотрим кинематическую картину обтекания. Составим производную: . (1.32)

Положим величину производной, равной нулю. Это означает, что имеют место критические точки А’ и B’, в которых . Умножив все члены (1.32) на z2/u¥, получим квадратное уравнение:

.

Здесь также освободились от мнимости в знаменателе во втором слагаемом. Решение этого уравнения имеет вид.

.

Это решение указывает на три возможных типа обтекания кругового цилиндра радиуса а в зависимости от величины циркуляции. Направление потока, как правило, совпадет с положительным направлением оси Ох.

1.  Когда циркуляция мала: |Г| < 4pаu¥, то есть . В этом случае корни уравнения комплексные:

,

Рис. 7

имеют общую ординату и отличаются лишь знаками абсцисс по модулю, меньших а. Модуль каждого из корней равен а, то есть они расположены на окружности радиуса а. Картина обтекания и положение критических точек показаны на рис. 7. Критическими точками будут не А и В (как при бесциркуляционном обтекании), а А’ и B’. При уменьшении Г до нуля критические точки будут перемещаться: А’ à A, B’ àB, стремясь занять положение на пересечении окружности с осью ОХ, как это и должно быть при Г=0 (для справки – циркуляция положительная при направлении вращения против часовой стрелки).

2.  Промежуточный случай, когда: |Г| = 4pаu¥, то есть . В этом случае корни z1 и z2 равны между собой. Модуль их равен а, критические точки совпадают (рис. 8) и находятся на мнимой оси в точке z1 = z2 =аi.

Рис. 8 Рис. 9

3.  Когда циркуляция велика: Г| > 4pаu¥, то есть . В этом случае в выражении для z под знаком радикала будет стоять отрицательная величина и можно записать:

.

Оба корня квадратного уравнения мнимые, причем модуль одного больше радиуса цилиндра, другого - меньше. В самом деле, корень z1 имеет модуль (при Г>0):

.

Второй корень имеет модуль:

.

Это выражение получают, умножив и разделив формулу для |Z2| на член, стоящий в знаменателе выражения. Заменим в знаменателе последнего выражения на меньшую величину а, тем самым как бы увеличивается |Z2| и тогда получим: то есть на самом деле

Таким образом, первый корень дает критическую точку А’, лежащую вне круга на положительной стороне мнимой оси (рис. 9), второй корень – критическую точку В, лежащую на той же оси, но внутри круга.

Как видно, при циркуляционном обтекании кругового цилиндра сохраняется симметрия только относительно оси ОУ и нарушается относительно оси ОХ. В связи с этим главный вектор сил давления жидкости на поверхность цилиндра будет отличен от нуля и направлен вдоль оси ОУ. Заметим, что в слоях жидкости под цилиндром скорости бесциркуляционного обтекания цилиндра и чисто циркуляционного потока вокруг цилиндра складываются (направлены в одну сторону), а под цилиндром - вычитаются (т. к. направлены в разные стороны). При этом под цилиндром скорости получаются большие, а давления, согласно уравнению Бернулли, меньшие. Над цилиндром, наоборот, скорости меньшие, а давления большие. Это приводит к тому, что в указанном на рис. 9 обтекании главный вектор сил давления R жидкости на цилиндр будет направлен по оси ОУ в отрицательную сторону (вниз).

При циркуляционном течении по часовой стрелке (Г<0) картина обтекания при том же расположении осей координат изменяется на перевернутую вокруг оси ОХ на 1800, и главный вектор сил давления окажется направленным по оси ОУ в положительную сторону, то есть вверх (т. к. тогда скорости сложатся над цилиндром и давления над ним станут меньшими по сравнению с давлениями под цилиндром). Можно дать простое правило определения направления главного вектора сил давления жидкости на поверхность цилиндра: поместив начало вектора скорости в центр цилиндра 0, повернуть его на 900 в сторону, противоположную направлению циркуляционного движения – это и даст направление главного вектора R.

Теперь необходимо вычислить величину R:

.

Подставим это выражение в первое интегральное выражение Чаплыгина-Блазиуса:

.

Опуская промежуточные выкладки, получаем формулу Жуковского:

. (1.33)

1.5. Теорема Жуковского о подъемной силе крыла

Поскольку , а (из условия симметрии картины обтекания кругового цилиндра относительно оси ОУ), то . Аналогично, т. к. , то при .

Из этих формул очевидно, что

. (1.34)

Таким образом, векторы R и по модулю одинаковы, но противоположны по направлению. Для нашего случая обтекания цилиндра потоком с положительной циркуляцией вектор R равен по модулю и направлен вниз по оси ОУ, что совпадает с физическим объяснением направления главного вектора сил давления R, приведенного на рис. 9. Необходимо отметить, что главный момент сил давления L=0.

Полученное выражение (1.34) определяет общую теорему Жуковского о подъемной силе крыла в безвихревом плоскопараллельном потоке идеальной несжимаемой жидкости.