Математические модели в аэрогидромеханике. Часть II (стр. 11 )

Рассмотрим диаграммы процессов движения газа по соплу Лаваля. Отметим на диаграмме «давление – удельный объём» (р – V) (рис.13) процессы, протекающие внутри сопла Лаваля. Верхняя часть диаграммы представляет процесс движения газа по конфузорной части сопла Лаваля до его критического сечения. Нижняя часть диаграммы характеризует движение газа в закритической (диффузорной) части сопла. Здесь индексы 1,2 характеризуют вход и выход из сопла Лаваля, * - критическое сечение.

Рис. 13

Можно выделить три характерных режима работы сопла Лаваля:

1.  Давление газа на выходе из сопла равно атмосферному, т. е. . Такой режим работы называют расчётным.

2.  . Это недорасширенный режим работы сопла, в котором недоиспользованы энергетические возможности потока.

3.  . Это режим перерасширения, при котором происходит отрыв потока внутри сопла, в результате чего выходная часть сопла Лаваля не работает, ракета несет на себе лишний груз.

Скорость истечения газа из суживающегося (конфузорного) сопла можно определить следующим образом:

а) Из изоэнтропических соотношений ; адиабатическая скорость звука в неподвижной среде . Тогда ;

б) если взять интеграл Бернулли уравнения движения для адиабатического процесса при отсутствии массовых сил (потенциал П=0): ; где функция давления .

Тогда .

Определим теперь значения основных параметров газа при движении по соплу Лаваля. Для этого рассмотрим истечение газа при отсутствии энергетического обмена. В этом случае нетрудно убедиться в том, что скорость истечения газа никогда не может быть выше некоторой максимальной величины . На самом деле, из интеграла Бернулли уравнения энергии при отсутствии массовых сил (П=0): следует, что максимальная скорость получается в случае, когда h=0, т. е. когда полное теплосодержание газа (полная энтальпия ) целиком преобразуется в кинетическую энергию. Тогда , откуда . Для воздуха при условии постоянства теплоёмкости ср имеем , где – температура адиабатически заторможенного газа. Действительно, для воздуха:

.

Тогда . Видно, что увеличение максимального значения скорости истечения газа из сопла Лаваля может быть достигнуто только путем повышения температуры торможения (полного теплосодержания ), то есть за счет энергетических возможностей компонентов ракетного топлива.

Найдем связь между предельной скоростью истечения газа и скоростью звука в неподвижном газе : , , тогда: .

Так как , то .

Для воздуха (при k=1,4): , т. е. максимальная скорость истечения не может превосходить скорость звука в неподвижном воздухе более, чем в 2,23 раза.

Скорость звука в потоке . Так как статическая температура Т всегда меньше температуры заторможенного потока , то (т. е. скорость звука в потоке всегда меньше скорости звука в заторможенном газе).

Для воздуха (при k=1,4): ; , причём, если скорость звука в потоке является переменной величиной, зависящей от статической температуры газа, то скорость звука заторможенного потока для конкретного газа является величиной постоянной (т. к. для него ).

Из первого изоэнтропийного соотношения видно, что максимальное значение числа М à¥ при Тà0.

Критическая скорость звука . Скорость звука в заторможенном газе . Тогда и, следовательно, . Так как для воздуха , то получаем , т. е. . Следовательно, критическая скорость звука всегда меньше скорости звука заторможенного потока.

Итак, при течении газа по соплу Лаваля его параметры меняются следующим образом:

1.  При движении по соплу статическая температура Т потока постоянно падает, скорость потока растёт до , скорость звука в потоке а постоянно падает.

2.  В критическом сечении сопла Лаваля местная скорость звука в потоке . В этом же сечении число Маха, которое постоянно растет по длине сопла, становится равным критическому .

3.  Температура заторможенного потока ; скорость звука в неподвижном газе ; критическая температура ; критическая скорость потока и критическая скорость звука – величины постоянные (причём , T* < T0).

4.  Предельные значения параметров при истечении газа из сопла: Тà0; аà0; ; .

2.3.  Распространение малых возмущений в потоке сжимаемого газа

Движение газа имеет существенно различный характер в зависимости от того, является ли оно дозвуковым или сверхзвуковым. Одним из наибо­лее существенных принципиальных отличий сверхзвукового потока являет­ся возможность существования в нем так называемых ударных волн (свойства которых рассмотрим ниже). Другая характерная особенность сверхзвукового течения связана со свойствами распространения в газе малых возмущений.

Если в каком-нибудь месте стационарно движущийся газ подвергает­ся слабому возмущению, то влияние этого возмущения распространяется по газу со скоростью (относительно самого газа), равной скорости звука. Скорость же распространения возмущения относительно неподвижной сис­темы координат складывается из двух частей: во-первых, возмущение сно­сится потоком газа со скоростью ; во-вторых, распространяется от­носительно газа со скоростью звука a в некотором направлении .

Рассмотрим для простоты однородный плоскопараллельный поток га­за с постоянной скоростью . Пусть в некоторой (неподвижной в про­странстве) точке О газ подвергается малому возмущению. Скорость (+а) распространения исходящего из точки О возмущения (относительно неподвижной системы координат) имеет различное значение в зависимости от направления единичного вектора . Все возможные ее значения мы получим, отложив из точки О вектор , а из его конца, как из центра, построим сферу радиуса а.

Векторы, проведенные из точки О в точки этой сферы, и опреде­ляют возможные величины и направления скорости распространения возму­щения.