Математические модели в аэрогидромеханике. Часть II (стр. 19 )

Тогда уравнение Прандтля для косого скачка уплотнения будет выглядеть следующим образом:

, (3.48)

где

. (3.49)

Это значение для получается из рассмотрения уравнения интегра­ла энергии в следующем виде:

.

Для нашего случая:

. (3.50)

Отсюда следует:

. (3.51)

При наличии косого скачка уплотнения критическая скорость оказывается несколько меньшей, чем при прямом скачке уплотнения ().

Теорему Прандтля можно также записать в виде:

, (3.52)

где , . (3.53)

Относительное изменение характерных параметров при косом скачке уплотнения можно получить из аналогичных соотношений для прямого скачка уплотнения, если вместо векторов скоростей и в выражениях для М и l поставить их нормальные компоненты:

1) Например , (3.54)

где . Из треугольника скоростей u1n=u1sinb, тогда , и окончательно:

. (3.55)

Это же выражение через l1 выглядит следующим образом:

. (3.56)

Из треугольника скоростей: u1t=u1cos b, тогда с учетом (3.49):

Из уравнения (3.53):

. (3.57)

Следовательно, с учетом формул (3.56) и (3.57) имеем:

=

.

Окончательно имеем:

. (3.58)

2)  Аналогично:

(3.59)

или

. (3.60)

3) 

. (3.61)

И, наконец, останутся теми же самыми, что и для прямого скачка уплотнения, выражения: h1,0= h2,0=h0; T1,0= T2,0=T0; a1,0= a2,0=a0, T1*= T2*=T* и a1*= a2*=a*.

Останется той же и ударная адиабата Гюгонио.

3.7  . Ударная поляра

Из треугольников скоростей перед и за косым скачком уплотнения (рис. 24) следует:

; ,

где q - половинный угол клина, он же – угол отклонения потока за скачком; b - угол, образованный линией косого скачка уплотнения с направлением набегающего потока (вектора скорости )

u1t = u2t = u1cosb = u2cos(b-q) = u1.

Для проекций скоростей на оси прямоугольной декартовой системы координат имеем:

u1x = u1, u1y =0; u2x = u2cos(b-q), u2y = u2sin(b-q).

Еще: u1n = u1x sin b; u2n = u2x sin b - u2ycos b;

u1t = u2t = ut = u1xcosb = u2xcos b +u2ysin b =u1cos b.

Из последнего соотношения находим:

u2ysin b =(u1-u2x)cos b Þ

а) ;

б) .

С учетом предыдущих соотношений: .

Эти соотношения позволяют найти выражение касательных и нормальных компонент векторов скоростей и через их декартовые проекции:

;

;

.

Используем формулу Прандтля для косого скачка уплотнения в виде:

.

Подставим туда выражения для u1n и u2n через декартовы проекции векторов скоростей и после преобразований получим:

. (3.62)

Деля обе части этого равенства на а*2 или на , перепишем его в следующих видах:

, (3.63)

. (3.64)

Эти соотношения представляют собой уравнения семейства кривых соответственно в плоскостях (u2x/a*; u2y/a*) или (u2x/a1; u2y/a1) с параметрами l1 и M1. Полученные семейства представляют собой геометрические места точек концов вектора скорости за косым скачком уплотнения, отнесенного в первом случае к a* и во втором - к a1, причем в качестве параметров семейств используется величина скорости до скачка, отнесенная к a* или a1. Кривые этих семейств представляют собой строфоиды (их еще называют гипоциссоидами или декартовыми листами).

Рис. 25

На рис. 25 в размерных коор­динатах (u2x; u2y) по­казана одна из таких строфоид. Она имеет асимптоту, опреде­ляемую следующим выражением:

. (3.65)

Вертикальная составляющая скорости u2 обращается в нуль (u2y=0) в двух случаях:

1)  в точке B, в которой

u2x = u2 = u.

При этом величина и направление скорости не меняются, т. е. ска­чок уплотнения вырождается в слабую волну возмущения;

2) в точке A, в которой u2x = u2 = a*2/u1 или u1 u2 = a*2 (уравнение Прандтля для прямого скачка уплотнения).

В этом случае скорость u2 имеет минимальное значение при за­данной сверхзвуковой скорости u1, следовательно, скачок уплотне­ния имеет в точке A наибольшую интенсивность.

Луч, проведенный из начала координат под углом q, равным пово­роту потока (или углу полураствора клина), пересекает строфоиду в трех точках 1, 2, 3 и, таким образом, определяет три значения вектора скорости за косым скачком уплотнения. Какие же из этих трех то­чек имеют физический смысл?

Поскольку скорость в точке 3 больше скорости в точке B (см. рис. 25), т. е. скорость u2 в этой точке больше u1, что является невозможным, т. к. за косым скачком уплотнения происходит торможение потока (наличие скорости u2>u2 свидетельствует о существовании скачка разрежения, что в термодинамическом отношении не имеет места из-за уменьшения энтропии, а это невозможно). Поэтому точка 3 и вообще обе бесконечные ветви строфоиды, расположенные вправо от точки В и уходящие к асимптоте, являются нерабочими. Следовательно, рабочими точками, имеющими физический смысл, могут быть только точки 1 и 2.

При определенных углах обтекания клина или сверхзвукового течения внутри тупого угла за косыми скачками уплотнения может наблюдаться и сверхзвуковое течение, следовательно, интенсивность косого скачка уплотнения всегда меньше прямого скачка уплотнения, поскольку после прямого скачка уплотнения скорость потока всегда дозвуковая.

Так как точка 3 противоречит второму закону термодинамики (не реализуется), то ударную поляру часто изображают так (рис. 26):

Рис. 26

Такая диаграмма в координатах (u2x/a*; u2y/a*) позволяет весь­ма просто найти все основные величины:ut, u1n, u2n и угол b, характеризующий косой скачок уплотнения. Для этого из начала координат (см. рис. 27) под углом q (угол полураствора клина, или угол откло­нения потока за скачком уплотнения) проводят прямую линию до пересече­ния с полярой (например, точка E). Затем из точки B через точ­ку E проводят прямую линию и к ней из начала координат восстанавли­вают перпендикуляр (линия OG). Тогда угол GOB=b, а отрезок JG представляет собой касательную составляющую ut скоростей и (т. к. ut = u1cosb или OG=OBcosb), деленную на a*. Отрезок GE представляет собой нормальную составляющую u2n скорости (u2n = u2sin(b-q) или GE=OEsin(b-q), деленную на a*. Отрезок BG представляет собой нормальную составляющую u1n скорости (u1n=u1sinb или BG=OBsinb), деленную на a*. Аналогично можно найти параметры потока по этой диаграмме и для точки D, также характеризующей отношение u2/a*, но для другого возможного направления косого скачка уплотнения b’ (причем b’>b). Пос­кольку в точке D скорость меньше скорости в точке E (при одной и той же скорости ), то, следовательно, точке D со­ответствует косой скачок большей интенсивности, или по-другому, большим углам со­ответствуют косые скачки уп­лотнения большей интенсивнос­ти.