Математические модели в аэрогидромеханике. Часть II (стр. 12 )

u<a u>a

а б

Рис. 14

Рассмотрим случай, когда u<a . Тогда векторы +а могут иметь любое направление в пространстве (см. рис. 14,а). Другими словами, в дозвуковом потоке возмущение, исходящее из некоторой точки, распространяется в конце концов по всему газу. Напротив, в сверхзвуко­вом потоке, когда u>a, направления векторов +а, как видно из рис. 14,б, могут лежать только внутри конуса с вершиной в точке О, касающегося построенной из конца вектора (как из цент­ра) сферы. Для угла раствора 2a этого конуса имеем (см. рис. 14,б):

sin(a)=a/u.

Таким образом, в сверхзвуковом потоке исходящее из некоторой точки возмущение распространяется только вниз по течению внутри кону­са с углом раствора тем меньшим, чем меньше отношение a/u. На всей области потока вне этого конуса возмущение в точке О не отра­зится вовсе.

Угол a=arcsin(a/u) называется углом возмущений, а поверхность, ограничивающая область, куда достигает исходящее из данной точки воз­мущение, называется поверхностью возмущений или характеристической поверхностью.

В общем случае произвольного стационарного течения поверхность возмущений может и не быть конической во всем объеме потока. Однако по-прежнему можно утверждать, что эта поверхность пересекает в каждой своей точке линию тока под углом, равным углу возмущений. Значение же угла возмущений меняется от точки к точке соответственно изменению скоростей u и a . Отметим, что при движении газа с большими ско­ростями скорость звука различна в разных местах, меняясь вместе с па­раметрами потока (давлением, плотностью и т. д.), функцией которых она является. Поэтому о скорости звука как функции координат точки гово­рят как о местной скорости звука.

Описанные свойства сверхзвукового течения придают ему характер, совершенно отличный от характера дозвукового движения. Если дозвуко­вой поток газа встречает на своем пути какое-либо препятствие, например, обтекает какое-либо тело, то наличие этого препятствия изменяет движение во всем пространстве как вверх, так и вниз по течению; влия­ние обтекаемого тела исчезает лишь асимптотически при удалении от те­ла. Сверхзвуковой же поток натекает на препятствие как бы слепо, не­ожиданно; влияние обтекаемого тела сказывается лишь на определенную область вниз по течению, а по всей остальной области пространства газ движется так, как если бы никакого тела вообще не было.

В случае плоского стационарного течения газа вместо характеристических поверхностей говорят о характеристических линиях или просто о характеристиках в плоскости движения. Через всякую точку 0 этой плоскости проходят две характеристики АА’ и ВВ’ (рис. 15), пере­секающие проходящую через эту точку линию тока под углами, равными углу возмущения.

Рис. 15

2.4.  Математическая модель плоского безвихревого течения

идеального сжимаемого газа

Будем рассматривать плоское течение идеального сжимаемого газа как с дозвуковой, так и сверхзвуковой скоростями.

Рассматриваемая стационарная задача близка к теории обтекания крыла (где массовыми силами можно пренебречь). Запишем основные уравнения движения идеального газа:

1) ;

.

Это проекции векторного уравнения движения на оси координат в случае отсутствия массовых сил для плоского стационарного течения;

2) необходимо к уравнениям движения добавить уравнение неразрывности для плоского стационарного движения идеальной сжимаемой жидкости: ;

3) введем также уравнение энергии, нелинейное за счет левой части, и уравнение состояния, или вместо них можно записать уравнение процесса: для баротропного равновесия газа.

Теперь плоская задача будет полностью сформулирована, если еще добавить:

4) условие отсутствия вихря (rot )z=0 или ;

5) условие набегающего потока на границе (интеграл Бернулли уравнения энергии)

.

Итак, система, включающая в себя: уравнения движения, уравнение неразрывности, уравнение процесса и дополнительно условие отсутствия вихря и условие на границе – и есть система уравнений, необходимая для решения газодинамической задачи плоского безвихревого течения, которая действительна в случае тонких профилей. Будем упрощать исходную систему дифференциальных уравнений.

При условии баротропного движения газа и . Тогда первые два уравнения движения (уравнения Эйлера) принимают следующий вид:

; (2.38)

. (2.39)

Уравнение неразрывности после дифференцирования запишем в виде

. (2.40)

Если объединить уравнение неразрывности с уравнениями движения, подставив и из (2.38) и (2.39) в (2.40), то после преобразований получим следующее уравнение:

. (2.41)

Это основное уравнение газовой динамики, справедливое как для безвихревого, так и для вихревого движений. Отметим, что уравнение является типично нелинейным (даже при наличии ряда допущений).

В математическую модель входят также следующие уравнения:

а) условия отсутствия вихря

; (2.42)

б) уравнение энергии

, (2.43)

справедливое при безвихревом стационарном адиабатическом течении идеального газа во всей области (плоскости) движения.

Итак, задачу плоской газовой динамики можно свести к нелинейному уравнению относительно всех входящих в него величин: ux, uy, a. Интегрирование основного уравнения газовой динамики при обычных условиях непроницаемости твердых стенок обтекаемых тел и заданных значениях скорости на бесконечности представляет значительные трудности, связанные с нелинейностью уравнения (2.41).

Рассмотрим простейший случай плоского обтекания тонких, слабо искривленных тел, расположенных в однородном газовом потоке под малым углом атаки. В этом случае возмущения, создаваемые телом в однородном потоке, будут малыми, и уравнение может быть подвергнуто линеаризации.

2.5.  Линейные преобразования Прандля для определения

малых возмущений параметров газа

Для дальнейшего упрощения задачи используем прием линеаризации, который состоит в следующем. Выберем направление однородного потока, совпадающее с направлением оси Ох, и обозначим через u¥ , p¥, r¥, a¥ - скорость, давление, плотность, скорость распространения звука в однородном потоке. Возмущения, вносимые в этот поток тонким телом, обозначим через u’, p’, r’, a’, так что будем иметь:

ux=u¥+u’x; uy=u’y; p= p¥+ p’; r=r¥+r’; a= a¥+ a’.

Величины, отмеченные штрихом, являются малыми по сравнению с величинами без штрихов. Подчеркнем, что это допущение действительно лишь для обтекания тонкого профиля. Подставим эти соотношения в уравнение газовой динамики (2.41) и опустим такие произведения, как , , положив их равными нулю как величины второго порядка малости. Тогда после преобразований получим:

, (2.44)

или

. (2.45)

Последнее выражение является линеаризованным уравнением газовой динамики.

Использование этого приема несколько ухудшает точность (по сравнению с численными методами решения), но задача решается намного проще и физичнее.

Если имеет место потенциальное (безвихревое) течение, то

.

Это условие позволит ввести в рассмотрение потенциал скоростей j(x, y) и записать:

; .

Применим к j(x, y) этот же прием линеаризации: ,

где j - потенциал скоростей возмущенного потока, j¥ - потенциал скоростей невозмущенного потока, j’ – потенциал скоростей малых возмущений.

Тогда ; , но , так как рассматриваем тонкий профиль. Поскольку ux=u¥+u’x, а uy=u’y , то можно записать, что

, , .

Тогда после интегрирования первого соотношения потенциал скоростей невозмущенного движения , и тогда потенциал возмущенного движения .