Математические модели в аэрогидромеханике. Часть II (стр. 3 )

стью. Необходимо отметить, что

. (1.10)

Это вытекает из свойств функции W(z) как функции не просто двух переменных (координат х, у), а функции одной комплексной переменной z=x+iy. Действительно, если величина W есть функция только положения точки М с координатой z, то производная от нее в этой точке в свою очередь должна быть функцией только положения точки, т. е. координаты z, и не зависеть от направления дифференцирования в плоскости. Иными словами, производная и производные по направлениям действительной и мнимой осей должны быть равны между собой. Действительно,

и, следовательно, получим .

Таким образом, производная от характеристической функции W есть сопряженная скорость , а сама функция W(z)=j+iy называется комплексным потенциалом или характеристической функцией течения. Поэтому возникает очень интересное предложение: рассматривать не действительное течение и действительные силы, а их зеркальные отображения.

Математический аппарат теории функций комплексного переменного приводит к новому качеству, при помощи которого решение задачи об определении поля скоростей и подъемной силы (сопротивления) рассматривается в зеркальном отображении. Из курса теории функций комплексного переменного известно, что функция комплексного переменного W(z) однозначно отображает точки плоскости комплексного переменного z=x+iy на плоскость комплексного переменного W=j+iy. При этом происходит отображение фигур: замкнутых кривых и ограниченных ими частей плоскости z в соответствующие им фигуры или части плоскости W. Такое отображение называют конформным.

1.2 Комплексные потенциалы и характеризуемые ими

виды движений

Рассмотрим комплексный потенциал W(z)=j(x, y)+iy(x, y). Отделяя действительную и мнимую части W(z), получим потенциал скоростей j и функцию тока y некоторого плоского безвихревого движения:

j(x, y)=Re W(z); y(x, y)=Im W(z).

Приравнивая функцию j(x, y) различным постоянным j(x, y)=С, получим семейство изопотенциальных линий, аналогично совокупность равенств y(x, y)=С’ представляет собой семейство линий тока. Изопотенциальные линии и линии тока в любой точке плоскости течения взаимно ортогональны. Для доказательства этого утверждения надо показать, что взаимно перпендикулярны векторы – градиенты этих функций. Действительно,

что и доказывает взаимную ортогональность изопотенциальных линий и линий тока (так как скалярное произведение двух векторов равно нулю, если эти векторы перпендикулярны друг другу).

Зная комплексный потенциал W(z), можно определить вектор скорости или его проекции ux и uy.

Комплексная скорость , величина этой скорости (или модуль комплексного числа) равна . Сопряженная скорость , величина этой скорости .

Если q - угол между вектором и осью 0х, то

.

Здесь использована формула Эйлера :

,

.

Отсюда видно, что сопряженная скорость является зеркальным отображением u относительно оси 0ux. Плоскость Х0Y называется физической плоскостью или плоскостью течения.

Совокупность значений комплексной скорости u образует плоскость годографа скорости или плоскость годографа. В этой плоскости располагаются годографы скорости, то есть геометрические места концов векторов скоростей частиц жидкости, проведенных из начала координат.

Производная от комплексного потенциала:

.

Тогда проекции скорости: ; .

Контурный интеграл от сопряженной скорости по замкнутому контуру С в плоскости течения равен:

.

Вычисляя действительную и мнимую части этого интеграла, получим:

Отсюда видно, что действительная часть контурного интеграла определяет циркуляцию скорости Г по замкнутому контуру, а мнимая – секундный объемный расход жидкости Q через замкнутый контур.

Рассмотрим несколько простых примеров комплексных потенциалов, которые широко используются на практике:

а) линейная функция W(z)=az, где а – в общем случае комплексная постоянная. Составляя сопряженную скорость

видим, что комплексная константа представляет одинаковую по величине и направлению во всем потоке сопряженную скорость. Одинаковой будет и комплексная скорость

Следовательно, линейная функция определяет комплексный потенциал однородного потока со скоростью , наклоненного к действительной оси физической плоскости под углом a (рис. 1).

.

Рис.1

Отделяя действительную и мнимую части, найдем потенциал скоростей j и функцию тока y:

Так как w = j + i y, то

Здесь использованы соотношения z=x+iy; .

В частных случаях равенства a=0 и a=p/2, получим:

при a=0;

при a=p/2.

Это будут потенциалы скорости и функции тока однородных потоков, направленных соответственно вдоль осей X и Y;

б) логарифмическая функция W=A×lnz, где А – действительная величина. Воспользовавшись полярными координатами (r, q), полагая z=reiq и учитывая, что ln eiq=iq, получим

W=j+iy=A ln(r)+iq,

откуда j=А ln(r), y=Aq.

Линиями тока служат лучи q=const, выходящие из начала координат, изопотенциальными линиями – ортогональные к ним окружности r=const (рис.2).

а б

Рис. 2

Картина линий тока на рис. 2 соответствует плоскому течению жидкости из точечного источника (а) или к стоку (б), находящимся в начале координат.

Чтобы найти гидродинамическое значение коэффициента А, введем в рассмотрение мощность (интенсивность) источника или стока Q, определив эту величину как секундный объемный расход жидкости сквозь замкнутый контур, охватывающий источник или сток (в данном случае – начало координат), положительный для источника и отрицательный для стока.

Так как Q=, то откуда .

Тогда характеристическая функция для расположенного в начале координат источника или стоке с секундным объемным расходом Q будет:

.

Далее , , где .

В нашем случае ;

в) логарифмическая функция W=A lnz, где А – чисто мнимая величина, равная Вi, где В – действительная константа. Тогда потенциалу W=Вilnz будет соответствовать та же сетка кривых линий, что и во втором случае, но только линии тока и изопотенциальные линии поменяются местами.

Рис. 3

Картина линии тока соответствует циркуляционному движению жидкости вокруг изолированного точечного вихря, расположенного в начале координат (рис. 3).

Покажем это: поскольку в полярных координатах z=r×eiq, то

W = j + iy = Вi×lnz = Вi×(ln r+ iQ) =

= - Bq+ iB×ln r.

Отсюда j=-Bq; y=Bln r,

так как , тогда .

Следовательно, комплексный потенциал циркуляционного потока с данной циркуляцией Г будет равен:

.

При этом знак циркуляции Г определяется как положительный в предположении, что направление интегрирования по контуру выбирается в такую сторону, чтобы при этом площадь, ограниченная контуром, оставалась слева.

Далее , ,