Математические модели в аэрогидромеханике. Часть II (стр. 8 )

На практике при вычислении циркуляции нет надобности всякий раз вычитать из потока , обтекающего крыло, поступательный поток (как это было сделано для разъяснения появления циркуляции вокруг крылового профиля), потому что поступательный поток сам по себе не изменяет величины циркуляции вектора скорости, для него Г=0 по любому контуру. Поэтому берут в потоке, обтекающем крыло, произвольный замкнутый контур С, охватывающей профиль и вычисляют циркуляцию вектора скорости по этому контуру:

.

Величина циркуляции будет такая же, как и при вычитании поступательного потока. При вычислении контурного интеграла за положительное направление обхода контура обычно принимают такое направление, чтобы при обходе по контуру ограничиваемая им область все время оставалась по левую сторону. Обычные представления положительного направления вращения (например, против хода часовой стрелки) здесь непригодны, т. к. для контуров сложной формы они давали бы противоречивые указания.

Перейдем к математической постановке задачи обтекания крылового профиля плоским, однородным на бесконечности, безвихревым потоком идеальной несжимаемой жидкости.

а б

Рис. 11

Набегающий поток зададим комплексным вектором скорости , образующим в общем случае с осью Ох угол . Физическая плоскость z имеет заштрихованный вырез (рис. 11,а), что делает ее двухсвязной, для определенности задачи необходимо задать наперед циркуляцию вектора скорости Г по произвольному, охватывающему профиль, контуру С1.

Пусть функция комплексного переменного представляет собой преобразующую (или отображающую) функцию, осуществляющую конформное отображение внешней по отношению к ограниченной контуром С (заштрихованной) области плоскости комплексного переменного на внешнюю по отношению к заштрихованному кругу С* с радиусом а и центром в начале координат системы часть вспомогательной плоскости комплексного переменного . Наложим на отображенную функцию дополнительные условия:

а) чтобы бесконечно удаленная точка переходила при отображении в бесконечно удаленную точку ;

б) чтобы направление скорости на бесконечности при переходе из плоскости z в плоскость сохранялось. Тогда, как доказывается в теории функций комплексного переменного (теорема Римана), при выполнении этих условий преобразование является единственным.

Пусть – искомый комплексный потенциал течения в физической плоскости, а – комплексный потенциал течения во вспомогательной плоскости, а именно комплексный потенциал циркуляционного обтекания кругового цилиндра (он считается заданным). Тогда

где и – соответственно скорость на бесконечности и циркуляция вектора скорости по произвольному контуру , охватывающему во вспомогательной плоскости . Если известна функция, отображающая внешнюю область кругового цилиндра в плоскости на внешнюю область профиля в плоскости z, то есть дана зависимость: , то можно записать:

.

Взяв производную по от обеих частей этого равенства, получим:

.

Поскольку , а , то , и в бесконечно удаленных точках: , где .

По принятому ранее условию направление вектора скорости на бесконечности при конформном отображении сохраняется, т. е. векторы и параллельны друг другу. Отсюда следует параллельность и сопряженных векторов и , а поскольку - действительная величина (будем считать ее для определенности положительной), то .

Рассмотрим теперь циркуляцию Г*. Учитывая, что , представим Г* как действительную часть интеграла:

.

Видно, что циркуляция вектора скорости по любому замкнутому контуру, охватывающему обтекаемый профиль, при конформном отображении сохраняет свое значение.

Приведенные рассуждения позволили выразить неизвестные величины и Г* через заданные величины , Г и коэффициент . Следовательно, будем иметь окончательное выражение комплексного потенциала W в плоскости течения в виде параметрической зависимости от параметра :

,

где ; ; Г*=Г.

Таким образом, если известно решение геометрической задачи о конформном отображении внешней по отношению к обтекаемому контуру C области физической плоскости z на внешнюю по отношению к кругу C* произвольного радиуса a область вспомогательной плоскости , то решение гидродинамической задачи об определении комплексного потенциала W(z) уже не составит труда.

2.  МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ В ГАЗОВОЙ ДИНАМИКЕ

В этом разделе рассмотрим вначале основы математического моделирования одномерных движений идеального газа. С этой целью выведем изоэнтропийные соотношения для идеального газа, которые применим при создании математической модели течения газа по соплу Лаваля. Затем рассмотрим математическое моделирование плоских безвихревых движений идеального сжимаемого газа, на основе которого разработаем математические модели дозвукового и сверхзвукового обтеканий тонких профилей потоком идеального сжимаемого газа.

Если вдоль линии тока или траектории движения (при стационарных процессах) энтропия S сохраняет свою величину, то такое движение называется изоэнтропийным. Адиабатический обратимый процесс, у которого или , является изоэнтропийным процессом. Введем понятие скорости звука a при изоэнтропийном движении идеального сжимаемого газа. Из вывода волнового уравнения в курсе математической физики местная скорость звука . Используем уравнение адиабатического процесса (адиабата Пуассона)

, (2.1)

где k – показатель адиабаты. Найдем ; , откуда . Взяв константу из (2.1) и подставив в последнее уравнение, получим . Если использовать уравнение Клапейрона (R – универсальная газовая постоянная), то . С учетом этих соотношений

. (2.2)