Программа дисциплины Компьютерные технологии в научных исследованиях для направления подготовки 222900 - «Нанотехнологии и микросистемная техника», Магистерские специализации «Инженерно - физические технологии в наноиндустрии» (стр. 10 )

называется рядом Фурье элемента fпо ортогональной системе .

Справедливо т. н. неравенство Бесселя:

Если выполнено равенство Парсеваля

,

то нормированная система называется замкнутой.

Справедливо утверждение: в сепарабельном евклидовом пространстве Rвсякая полная ортогональная нормированная система является замкнутой и наоборот.

Сходимость ряда Фурье

Сходимость ряда Фурье

Теорема:

Если периодическая функция с периодом — кусочно-монотонная и ограниченная на отрезке , то тригонометрический ряд Фурье, построенный для этой функции, сходится во всех точках. Сумма полученного ряда равна значению функции в точках ее непрерывности. В точках разрыва сумма ряда равняется среднему арифметическому пределов функции справа и слева.

Из этой теоремы следует, что тригонометрические ряды Фурье применимы к достаточно широкому классу функций.

С

Собственные векторы, значения и пространства

Определения собственного числа, собственного и корневого вектора линейного оператора

Пусть L— линейное пространство над полем K, — линейное преобразование.

Собственным векторомлинейного преобразования Aназывается такой ненулевой вектор , что для некоторого

Ax= λx,

Собственным значениемлинейного преобразования Aназывается такое число , для которого существует собственный вектор, то есть уравнение Ax = λxимеет ненулевое решение .

Собственным подпространствомлинейного преобразования Aдля данного собственного числа называется множество всех собственных векторов , соответстветствующих данному собственному числу (дополненное нулевым вектором). Обозначим его Eλ. По определению,

где 1— единичный оператор.

Корневым векторомлинейного преобразования Aдля данного собственного значения называется такой ненулевой вектор , что для некоторого натурального числа m

Если mявляется наименьшим из таких натуральных чисел (то есть ), то mназывается высотой корневого вектора x.

Корневым подпространствомлинейного преобразования Aдля данного собственного числа называется множество всех корневых векторов , соответстветствующих данному собственному числу (дополненное нулевым вектором). Обозначим его Vλ. По определению,

где . ...

Т

Треугольная матрица

Треугольная матрица— квадратная матрица, в которой все элементы ниже или выше главной диагонали равны нулю.

Верхнетреугольная матрица— квадратная матрица, в которой все элементы ниже главной диагонали равны нулю.

Нижнетреугольная матрица— квадратная матрица, в которой все элементы выше главной диагонали равны нулю.

Унитреугольная матрица(верхняя или нижняя) — треугольная матрица, в которой все элементы на главной диагонали равны единице.

Треугольные матрицы используются в первую очередь при решении линейных систем уравнений, когда матрица системы сводится к треугольному виду используя следующую теорему:

Любую ненулевую матрицу путём элементарных преобразований над строками и перестановкой столбцов можно привести к треугольному виду.

Решение систем линейных уравнений с треугольной матрицей (обратный ход) не представляет сложностей.

Свойства

· Определитель треугольной матрицы равен произведению ее диагональных элементов.

· Определитель унитреугольной матрицы равен единице.

· Множество невырожденных верхнетреугольных матриц порядка n по умножению с элементами из поля k образует группу, которая обозначается UT(n, k) или UTn (k).

· Множество невырожденных нижнетреугольных матриц порядка n по умножению с элементами из поля k образует группу, которая обозначается LT(n, k) или LTn (k).

· Множество верхних унитреугольных матриц с элементами из поля k образует подгруппу UTn (k) по умножению, которая обозначается SUT(n, k) или SUTn (k). Аналогичная подгруппа нижних унитреугольных матриц обозначается SLT(n, k) или SLTn (k).

· Множество всех верхнетреугольных матриц с элементами из кольца k образует алгебру относительно операций сложения, умножения на элементы кольца и перемножения матриц. Аналогичное утверждение справедливо для нижнетреугольных матриц.

· Группа UTn разрешима, а её унитреугольная подгруппа SUTn нильпотентна.

Трёхдиагональная матрица

Трёхдиагональной матрицейназывают матрицу следующего вида:

.

Системы линейных алгебраических уравнений с такими матрицами встречаются при решении многих задач математики и физики. Краевые условия x1и xn, которые берутся из контекста задачи, задают первую и последнюю строки. Так краевое условие первого рода F(x = x1) = F1определит перую строку в виде C1 = 1, B1 = 0, а условие второго рода dF / dx(x = x1) = F1будет соответствовать значениям C1 = − 1, B1 = 1.

Метод прогонки

Для решения систем вида используется метод прогонки, основанный на предположении, что искомые неизвестные связаны рекуррентным соотношением:

,где (1)

Используя это соотношение, выразим xi-1 и xi через xi+1 и подставим в i-e уравнение:

,

где Fi - правая часть i-го уравнения. Это соотношение будет выполняться независимо от решения, если потребовать

Отсюда следует:

Из первого уравнения получим:

.

.

После нахождения прогоночных коэффициентов αи β, используя уравнение (1), получим решение системы. При этом,

У

Уравнение Гельмгольца

Уравнение Гельмгольца— это эллиптическое дифференциальное уравнение в частных производных: , где — это оператор Лапласа, а неизвестная функция U определена в (на практике уравнение Гельмгольца применяется для n = 1, 2, 3).

Вывод уравнения

Как легко заметить, в уравнение Гельмгольца не входят операторы дифференцирования по времени, следовательно, сведение исходной задачи в частных производных к уравнению Гельмгольца может упростить ее решение. Рассмотрим волновое уравнение:

Пусть функции u и f допускают разделение переменных: , и пусть T(t) = eiωt. Заметим, что в пространстве Фурье-преобразований дифференцирование по времени соответствует умножению на множитель iω. Таким образом, наше уравнение приводится к виду: