Программа дисциплины Компьютерные технологии в научных исследованиях для направления подготовки 222900 - «Нанотехнологии и микросистемная техника», Магистерские специализации «Инженерно - физические технологии в наноиндустрии» (стр. 5 )

,

.

Здесь числа aijсоставляют матрицу векторной Л. в.-ф. Если определить сумму векторных Л. в.-ф. и как Л. в.-ф. , а произведение тех же функций, как Л. в.-ф. , то сумме и произведению векторных Л. в.-ф. будут соответствовать сумма и произведение соответствующих матриц. Примером векторной Л. в.-ф. является Л. в.-ф. вида:

,

где - постоянные векторы; в n-мерном пространстве, в котором определено скалярное произведение, всякая векторная Л. в.-ф. может быть представлена в таком виде.

Функцию нескольких векторных переменных, являющуюся Л. в.-ф. относительно каждого своего аргумента, называют полилинейной (билинейной, трилинейной и т. д.) вектор-функцией. Скалярное и векторное произведения двух переменных векторов могут служить примерами, соответственно скалярной и векторной билинейных вектор-функций. Полилинейные вектор-функции приводят к понятию тензора.

Вронскиан(определитель Вронского) — определитель следующей матрицы:

Применяется для решения дифференциальных уравнений.

Имеют место следующие теоремы: Пусть — (n-1) раз дифференцируемые функции, тогда:

Если линейно зависимы на X, то det(W) = 0.

Если det(W) = 0 хотя бы для одного , то линейно зависимы на X.

Или:

Определитель Вронского либо тождественно равен нулю, и это означает, что линейно зависимы, либо не обращается в нуль ни в одной точке X, что означает линейную независимость функций .

Г

Д

Дельта-функция

δ-функция(Дельта-функция, δ-функция Дирака, дираковская дельта, Единичная импульсная функция) есть обобщённая функция, то есть формально она определяется как непрерывный линейный функционал на пространстве дифференцируемых функций. δ-функция не является функцией в классическом смысле, тем не менее нетрудно указать последовательности обычных классических функций, слабо сходящиеся к δ-функции.

Введена английским физиком Дираком.

Позволяет записать пространственную плотность физической величины (масса, заряд, интенсивность источника тепла, сила и т. п.), сосредоточенной или приложенной в одной точке. Например, плотность точечной массы 1, находящейся в точке a, евклидова пространства , записывается с помощью δ-функции в виде δ(x − a). Также применима для описания распределений заряда, массы итп на поверхностях или линиях.

Можно различать одномерную и многомерные дельта-функции, однако последние могут быть представлены в виде произведения одномерных в количестве, равном размерности пространства, на котором определена многомерная.

· Дельта-функция δ(x − y)является бесконечномерным аналогом единичной матрицы (то есть дельты кронекера δij) для случая вещественных индексов и играет в этом случае аналогичную роль. Она позволяет записать тождественное преобразование в интегральной форме.

· Дельта-функции δ(x − λ)являются собственными функциями (представителями собственных векторов) оператора в его собственном представлении (особенно это важно для операторов с непрерывным спектром, для которых нет другой возможности ввести такие собственные функции, хотя и для операторов с дискретным спектром можно также записать собственные функции в виде дельта-функций). Например собственными функциями оператора x(т. е. оператора, превращающего f(x)в xf(x)) являются очевидно δ(x − λ).

· Обобщенное преобразование Фурье к базису из дельта-функций является тождественным преобразованием, записанным как обобщенное преобразование Фурье, что, естественно, является важным для соответствующей теории.

Определение

δ-функция с областью определения определяется формальным соотношением

для любой непрерывной функции f(x).

В частности, для одномерной дельта-функции (т. е. дельта-функции, с областью определения )

.

Е

Ж

Жорданова матрица

Жорданова матрица — квадратная блочно-диагональная матрица над полем k, с блоками вида

блок Jλназывается жордановой клеткой с собственным значением λ.

Для произвольной квадратной матрицы Aнад алгебраически замкнутым полем kвсегда существует такая квадратная невырожденная матрица Cнад k, что J = C − 1ACявляется жордановой матрицей (иначе говоря, Aсопряжена в kнекоторой жордановой матрице).

Матрица J = C − 1AC, указанная выше, называется жордановой формой (или жордановой нормальной формой) матрицы A.

Жорданова форма матрицы определена не однозначно, а с точностью до порядка жордановых клеток. Точнее, две жордановы матрицы подобны над kв том и только в том случае, когда они составлены из одних и тех же жордановых клеток и отличаются друг от друга лишь расположением этих клеток на главной диагонали.

Помимо жордановой нормальной формы, рассматривают ряд других типов нормальных форм матрицы. К их рассмотрению прибегают, например, когда основное поле не содержит всех корней минимального многочлена матрицы.

Свойства

· Количество жордановых клеток порядка nс собственным значением λв жордановой форме матрицы Aможно вычислить по формуле

где I— единичная матрица того же порядка что и A, — ранг матрицы B, а , по определению, равен порядку A.

· В случае если поле kне является алгебраически замкнутым, для того чтобы матрица Aбыла подобна над kнекоторой жордановой матрице, необходимо и достаточно, чтобы поле kсодержало все корни характеристического многочлена матрицы A.

· У эрмитовой матрицы все жордановы клетки имеют размер 1.

З

Задача Коши— одна из основных задач теории дифференциальных уравнений (обыкновенных и с частными производными); состоит в отыскании решения (интеграла) дифференциального уравнения, удовлетворяющего так называемым начальным условиям (начальным данным).

Задача Коши обычно возникает при анализе процессов, определяемых дифференциальным законом и начальным состоянием, математическим выражением которых и являются уравнение и начальное условие (откуда терминология и выбор обозначений: начальные данные задаются при t = 0, а решение отыскивается при t > 0).

От краевых задач задача Коши отличается тем, что область, в которой должно быть определено искомое решение, здесь заранее не указывается. Тем не менее, задачу Коши можно рассматривать как одну из краевых задач.

Основные вопросы, которые связаны с задачей Коши, таковы:

1. Существует ли (хотя бы локально) решение задачи Коши?

2. Если решение существует, то какова область его существования?

3. Является ли решение единственным?

Если решение единственно, то будет ли оно корректным, то есть непрерывным (в каком-либо смысле) относительно начальных данных?

Говорят, что задача Коши имеет единственное решение, если она имеет решение y=f(x) и никакое другое решение не отвечает интегральной кривой, которая в сколь угодно малой выколотой окрестности точки (x0,y0) имеет поле направлений, совпадающее с полем направлений y=f(x). Точка (x0,y0) задаёт начальные условия.

Различные постановки задачи Коши

· ОДУ первого порядка, разрешённая относительно старшей производной

· Система nОДУ первого порядка, разрешённая относительно старших производных

· ОДУ n-го порядка, разрешённая относительно старшей производной

И

Интегральное уравнение Фредгольма

В математике интегральное уравнение Фредгольма — это интегральное уравнение, ядром которого является ядро Фредгольма. Названо так по имени изучавшего его Ивара Фредгольма. Со временем выросло в самостоятельный раздел функционального анализа — теорию Фредгольма, которая изучает ядра Фредгольма и операторы Фредгольма.

Общая теория, основанная на уравнениях Фредгольма, известна как теория Фредгольма. В теории рассматривается интегральное преобразование специального вида