Программа дисциплины Компьютерные технологии в научных исследованиях для направления подготовки 222900 - «Нанотехнологии и микросистемная техника», Магистерские специализации «Инженерно - физические технологии в наноиндустрии» (стр. 9 )

(τ— шаг по времени. h— шаг пространственной сетки. | λ | max— максимальное по модулю собственное значение в точке. Минимум берется по всем точкам сетки.)

Классификация схем

Явные схемы вычисляют значение результата через несколько соседних точек данных. Пример явной схемы для дифференцирования: (2-й порядок аппроксимации). Явные схемы часто оказываются неустойчивыми.

Согласно Теореме Годунова среди линейных разностных схем для уравнения переноса с порядком аппроксимации выше первого нет устойчивых. Таким образом, все устойчивые схемы высокого порядка аппроксимации являются нелинейными (несмотря на линейность исходного уравнения).

Неявные схемы используют уравнения, которые выражают данные через несколько соседних точек результата. Для нахождения результата решается система линейных уравнений. Пример неявной схемы для уравнения струны: f(x, t + h) − 2f(x, t) + f(x, t − h) = f(x + h, t + h) − 2f(x, t + h) + f(x − h, t + h). Неявные схемы обычно являются устойчивыми.

Полунеявные схемы: на одних шагах применяется явная схема, на других — неявная (как правило, эти шаги чередуются).

Компактные схемы используют уравнения, которые связывают значения результата в нескольких соседних точках с значениями данных в нескольких соседних точках. Это позволяет повысить порядок аппроксимации. Пример компактной схемы для дифференцирования: (4-тый порядок аппроксимации).

Схемы на смещенных сетках: в этих схемах сетки, на которых задан результат, и данные смещены относительно друг друга. Например, точки результата находятся посередине между точками данных. В некоторых случаях это позволяет использовать более простые граничные условия.

Ранг матрицы

Ранг матрицы— наивысший из порядков миноров этой матрицы, отличных от нуля. Ранг матрицы равен наибольшему числу линейно независимых строк (или столбцов) матрицы.

Обычно ранг матрицы Aобозначается () или . Оба обозначения пришли к нам из иностранных языков, потому и употребляться могут оба. Последний вариант свойственен для английского языка, в то время как первый — для немецкого, французкого и ряда других языков.

Определение: Пускай — прямоугольная матрица.

Тогда по определению рангом матрицы Aявляется:

нуль, если A— нулевая матрица; число , где Mr— минор матрицы Aпорядка r, а Mr + 1— окаймляющий к нему минор порядка (r + 1), если они существуют.

Теорема (о корректности определения рангов).Пусть все миноры матрицы порядка kравны нулю (Mk = 0). Тогда , если они существуют.

Связанные определения

Ранг матрицы Mразмера называют полным, если . Базисный минорматрицы A— любой минор матрицы Aпорядка r, где r = rangA.
Строки и столбцы, на пересечении которых стоит базисный минор, называются базисными строками и столбцами. (Они определены неоднозначно в силу неоднозначности базисного минора.)

Свойства

Теорема (о базисном миноре):Пусть r = rangA, Mr— базисный минор матрицы A, тогда:

1. базисные строки и базисные столбцы линейно независимы;

2. любая строка (столбец) матрицы Aесть линейная комбинация базисных строк (столбцов).

Следствия:

Если ранг матрицы равен r, то любые строк или столбцов этой матрицы будут линейно зависимы. Если A— квадратная матрица, то строки и столбцы этой матрицы линейно зависимы. Пусть r = rangA, тогда максимальное количество линейно независимых строк (столбцов) этой матрицы равно r.
Теорема (об инвариантности ранга при элементарных преобразованиях):Введём обозначение для матриц, полученных друг из друга элементарными преобразованиями. Тогда справедливо утверждение: Если , то их ранги равны Теорема Кронекера — Капелли:Система линейных алгебраических уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг её основной матрицы равен рангу её расширенной матрицы. В частности:
Количество главных переменных системы равно рангу системы. Совместная система будет определена (её решение единственно), если ранг системы равен числу всех её переменных.

Регрессионный анализ (линейный)— статистический метод исследования зависимости между зависимой переменной Yи одной или несколькими независимыми переменными X1,X2,...,Xp. Независимые переменные иначе называют регрессорами или предикторами, а зависимые переменные — критериальными. Терминология зависимых и независимых переменных отражает лишь математическую зависимость переменных (см. Ложная корреляция), а не причинно-следственные отношения.

Цели регрессионного анализа

1. Определение наличия и характера (математического уравнения, описывающего зависимость) связи между переменными

2. Определение степени детерминированности вариации критеральной переменной предикторами

3. Предсказать значение зависимой переменной с помощью независимой

4. Определить вклад независимых переменных в вариацию зависимой

Математическое определение линейной регрессии

Строго регрессионную зависимость можно определить следующим образом. Пусть Y, X1,X2,...,Xp— случайные величины с заданным совместным распределением вероятностей. Если для каждого набора значений X1 = x1,X2 = x2,...,Xp = xpопределено условное математическое ожидание

y(x1,x2,...,xp) = E(Y | X1 = x1,X2 = x2,...,Xp = xp),

то функция y(x1,x2,...,xp)называется регрессией величины Y по величинам X1,X2,...,Xp, а ее график — линией регрессии Yпо X1,X2,...,Xp, или уравнением регрессии.

Зависимость Yот X1,X2,...,Xpпроявляется в изменении средних значений Y при изменении X1,X2,...,Xp. Хотя при каждом фиксированном наборе значений X1 = x1,X2 = x2,...,Xp = xpвеличина Yостается случайной величиной с определенным рассеянием.

Для выяснения вопроса, насколько точно регрессионный анализ оценивает изменение Y при изменении X1,X2,...,Xp, используется средняя величина дисперсии Y при разных наборах значений X1,X2,...,Xp(фактически речь идет о мере рассеяния зависимой переменной вокруг линии регрессии).

Ряд Фурье

Ряд Фурье — в математике — способ представления произвольной сложной функции суммой более простых. В общем случае количество таких функций может быть бесконечным, при этом чем больше таких функций учитывается при расчете, тем выше оказывается конечная точность представления исходной функции. В большинстве случаев в качестве простейших используются тригонометрические функции синуса и косинуса, в этом случае ряд Фурье называется тригонометрическим, а вычисление такого ряда часто называют разложением на гармоники.

Классическое определение

Тригонометрическим рядом Фурьеназывают функциональный ряд вида

или, более сжато

(1)

Постоянные числа , и () называются коэффициентами тригонометрического ряда.

Если ряд (1) сходится, то его сумма есть периодическая функция с периодом , так как и являются периодическими функциями с периодом .

Общее определение

Пусть даны ортогональная система в Гильбертовом пространстве Rи f— произвольный элемент из R. Последовательность чисел

называется координатами, или коэффициентами Фурье элемента fпо системе , а ряд