Программа дисциплины Компьютерные технологии в научных исследованиях для направления подготовки 222900 - «Нанотехнологии и микросистемная техника», Магистерские специализации «Инженерно - физические технологии в наноиндустрии» (стр. 12 )

где — число точек, в которых вычисляется значение подынтегральной функции. Точки называются узлами метода, числа — весами узлов. При замене подынтегральной функции на полином нулевой, первой и второй степени получаются соответственно методы прямоугольников, трапеций и парабол (Симпсона). Часто формулы для оценки значения интеграла называют квадратурными формулами.

Метод прямоугольников.

Пусть требуется определить значение интеграла функции на отрезке . Этот отрезок делится точками x0, x1, … , xn − 1, xnна nравных отрезков длиной . Обозначим через y0, y1, … , yn − 1, ynзначение функции f(x)в точках x0, x1, … , xn − 1, xn. Далее составляем суммы y0· Δx+ y1· Δx+ … + yn − 1· Δx+ yn· Δx. Каждая из сумм - интегральная сумма для f(x)на и поэтому приближённо выражает интегралл ≈ (y0+ y1+ y2+ … + yn − 1). Если заданная функция - положительная и возрастающая, то эта формула выражает площадь ступенчатой фигуры, составленной из "входящих" прямоугольников, а формула ≈ (y1+ y2+ y3+ … + yn) выражает площадь ступенчатой фигуры, состоящей из "выходящих" прямоугольников. Чем меньше длина отрезков, на которые делится отрезок , тем точнее значение, вычисляемое по этой формуле, искомого интеграла.

Метод трапеций

Если функцию на каждом из частичных отрезков аппроксимировать прямой, проходящей через конечные значения, то получим метод трапеций.

Площадь трапеции на каждом отрезке:
Погрешность аппроксимации на каждом отрезке: , где
Полная формула трапеций в случае деления всего промежутка интегрирования на отрезки одинаковой длины h: , где
Погрешность формулы трапеций: , где

Метод парабол (метод Симпсона)

Использовав три точки отрезка интегрирования можно заменить подынтегральную функцию параболой. Обычно в качестве таких точек используют концы отрезка и его среднюю точку. В этом случае формула имеет очень простой вид

.

Если разбить интервал интегрирования на 2Nравных частей, то имеем

где .

Число обусловленности

В численных методах, число обусловленности характеризует точность решения задачи и является мерой аменабельности этого решения в численном представлении, то есть насколько задача хорошо или плохо обусловлена.

Если число обусловленности некоего уравнения мало́, то уравнение называется хорошо обусловленным. Если же число обусловленности велико, то уравнение называется плохо обусловленным.

Число обусловленности для оператора

Пусть задан ограниченный обратимый линейный оператор .
Числом обусловленности оператора называется число

Если оператор не ограничен, то числом обусловленности оператора обычно считают

С числом обусловленности связано множество утверждений и оценок теории вычислительной математики.

Рассмотрим линейное уравнение

,

где — линейный оператор, — вектор, — искомый вектор (переменная уравнения). Допустим, уравнение решается с погрешностью на входных данных. Тогда число обусловленности характеризует, насколько сильно будет велика погрешность в решении.

Если число обусловленности оператора мало́, то оператор называется хорошо обусловленным. Если же число обусловленности велико, то оператор называется плохо обусловленным. Таким образом, чем меньше , тем «лучше», то есть тем меньше погрешности решения будут относительно погрешностей в условии. Учитывая, что , то наилучшим числом обусловленности является 1.

Оценка относительной погрешности при замене уравнения близким

Рассмотрим два линейных уравнения:

— «основное» уравнение

— «близкое» к нему.

Пусть — линейный ограниченный обратимый оператор, действующий из полного пространства .
Пусть операторы также ограничены, и .

Пусть — решение уравнения (1), — решение уравнения (2).

Тогда

ШЩ

Э

Экстремум

Экстремум(лат. extremum — крайний) в математике — максимальное или минимальное значение функции на заданном множестве. Точка, в которой достигается экстремум называется точкой экстремума. Соответственно, если достигается минимум — точка экстремума называется точкой минимума, а если максимум — точкой максимума. В математическом анализе выделяют также понятие локальный экстремум (соответственно минимум или максимум).

Определения

Пусть дана функция и — внутренняя точка области определения f. Тогда

· x0называется точкой локального максимума функции f, если существует проколотая окрестность такая, что

· x0называется точкой локального минимума функции f, если существует проколотая окрестность такая, что

Если неравенства выше строгие, то x0называется точкой строгого локального максимума или минимума соответственно.

· x0называется точкой абсолютного (глобального) максимума, если

· x0называется точкой абсолютного минимума, если

Значение функции f(x0)называют (строгим) (локальным) максимумом или минимумом в зависимости от ситуации. Точки, являющиеся точка (локального) максимума или минимума, называются точками (локального) экстремума.

Замечание

Функция f, определённая на множестве M, может не иметь на нём ни одного локального или абсолютного экстремума. Например,

Необходимые условия существования локальных экстремумов

· Лемма Ферма. Пусть функция дифференцируема в точке локального экстремума x0.Тогда:

f'(x0) = 0.

Достаточные условия существования локальных экстремумов